Convergence "tour de puissances"

[t.itou29]

Bonjour,
J'ai une question sur cet exercice:
"On définit la suite par:
et
Montrer que est croissante et majorée par 2."

Comme on a prouvé la convergence je me suis demandé pourquoi on demande pas la limite:
On a avec qui est continue.
La limite l vérifie donc et c'est là le problème impossible de résoudre l'équation ! On voit bien que 2 est solution mais pour prouver l'unicité je suis obligé de faire une étude de la fonction ?

[paquito]

4 est aussi solution et l'étude de g(x)=x-(V2)^x montre qu'il n'y a que deux solutions soit 2 et 4; (an) étant majorée par deux la seule possibilité est l=2.

[t.itou29]

4 est aussi solution et l'étude de g(x)=x-(V2)^x montre qu'il n'y a que deux solutions soit 2 et 4; (an) étant majorée par deux la seule possibilité est l=2.

Merci, c'est bien ce que je pensais. Quand je rentre des équations dans le genre dans wolfram alpja (où le calcul d'une solution explicite n'est pas toujours possible) il me renvoie des W(k) mais il ne précise pas ce qu'est cette fonction W, à quoi correspond-elle ?

[fatal_error]

hello t.itou29,

cette fonction a pour nom fonction de Lambert

[t.itou29]

hello t.itou29,

cette fonction a pour nom fonction de Lambert

Merci ! Du coup dans le cas de l'exercice si j'ai bien compris ça donne:

Comme on prend la branche W0 ce qui donne (comme 0<l<e) D'ailleurs dans l'article wikipedia la convergence des tours exponentielles est évoquée.
Mais je crois que je vais me contenter d'une étude d'une fonction (qui est plus simple). Ça servira sûrement plus tard mais pour l'instant c'est trop compliqué

[paquito]

pour x=2 on a un point fixe attractif (pour x=2, f'(2)=lnV2e^2lnV2= 0,6931...<1) et pour x=4, un point fixe répulsif(f'(4)=lnV2e^4lnV2=1,386....); donc la suite ne converge vers 4 que si a0=4; sinon, elle converge vers 2 ou diverge vers +inf (si a0>4).

[t.itou29]

pour x=2 on a un point fixe attractif (pour x=2, f'(2)=lnV2e^2lnV2= 0,6931...4).

Je n'ai pas encore vu les points fixes attractifs et répulsifs, je vais me renseigner tout de suite