Condition de concourance [1ère S]

[Anonyme]

Bonjour à tous !

Voilà, j'ai un exercice sur les barycentres à rendre pour lundi. J'ai réussi toutes les questions sauf la dernière... :hum:
Sur la figure ci-dessous, on suppose que les subdivisions sur les côtés du quadrilatère ABCD sont régulières et on désigne par U et V les milieux respectifs des segments [AC] et [BD].

[img][IMG]http://img362.imageshack.us/img362/2591/conditiondeconcourancejml1.png[/img] [/IMG]

1.a. Justifier que I est le barycentre des points (A,2) et (B,1).
1.b. Exprimer de même (sans justification) les points J,K,L,M,N,O et P comme le barycentre de deux sommets de ABCD.
2. Soit G=Bar{(U,2);(V,1)}; montrer que G est le point d'intersection des droites (IM) et (LP).
On montre de même que les droites (JN) et (KO) se coupent au barycentre H de (U,1) et (V,2).
3. En déduire la propriété suivante : "Les droites (IM), (LP), (JN) et (KO) sont concourantes si et seulement si ABCD est un parallélogramme"

Aidez-moi pour la dernière. Je me suis permis de mettre l'énoncé en entier car il faut se servir des questions précédentes pour déduire cette fameuse propriété.

Merci d'avance à tous ceux qui voudront m'aider. :id:

[uztop]

Bonjour,

alors tu as vu en deuxième partie que (IM) et (LP) se coupent en G et que (JN) et (KO) se coupent en H. Tu veux maintenant qu'elles soient concourantes: ça veut dire qu'elles se coupent toutes aux même point: qu'est ce que tu peux donc dire de G et H ? Est ce que tu peux en conclure quelque chose sur U et V ?

[Anonyme]

G et H sont donc confondus. Ainsi (AC) et (BD) se coupent en leur milieu (car U et V aussi confondus) et donc ABCD est un parallélogramme. Je pense que c'est ça mais COMMENT LE PROUVER DE FACON RIGOUREUSE ?

Merci de me répondre. :hein:

[uztop]

oui, en fait c'est tout.
D'après le cours, tu sais que:
- si ABCD est un parallélogramme, alors AC et BD se coupent en leur milieu
- si ABCD est un quadrilatère non croisé et que AC et BD se coupent en leur milieu, alors ABCD est un parallélogramme

Attention, c'est important de mettre les deux sens: on te demande de démontrer "si et seulement si"

[Anonyme]

Merci uztop, c'était plus simple que je le pensais.
A + :we: