Comment démontrer l'irrationalité de racine carrée de 2 ?

[Moloch]

'jour tout le monde.

Bah voilà, je bloque sur quelques questions d'un petit devoir... Et connaître les réponses me serait très utile ! Donc j'ai besoin de votre aide, s'il vous plaît.

Alors, alors... Déjà :

1/En sachant que si a est impair, alors a² est impair, démontrer maintenant que si a est pair, alors a² est pair.


Ensuite :

En utilisant un raisonnement par l'absurde.

Ici, on veut montrer que la racine carrée de 2 est irrationnel, c.a.d. que la propriété " racinne carrée de 2 est rationnel" est fausse. Pour cela, on va donc supposer que cette supposition est vraie et tenter d'aboutir à une contradiction.

On suppose donc que racinne carrée de 2 est rationnel (C'est l'hypothèse absurde.), c.a.d. qu'il existe des entiers naturels a et b, avec b n'est pas égal à 0, tels que la racinne carrée de deux = a/b où a/b est une fraction irréductible (c.a.d. a et b sont premiers entre eux).

2/Je voudrai savoir comment vérifier qu'on a alors a² = 2b²
3/Quelle est donc la parité de a² ? En déduisant du préambule que a est pair.
4/On pose alors a = 2m avec m appartient à N. Démontrer qu'alors b² = 2m² et en déduire la parité de b². D'après le préambule, quelle est alors la parité de b ?
5.Déceler où se situe la contradiction en utilisant l'hypothèse absurde et les questions 3/ et 4/.

Déduire alors que la racine carrée de 2 est irrationnel.


Ca sera tout, je remercie déjà celui qui me trouvera les réponses.

[Flodelarab]

cherche sur le forum.

Ce thème est classique et on a deja répondu des dizaines de fois a ces questions.

[Moloch]

Edit, c'est bon j'ai trouvé, merci.

[kazeriahm]

1/En sachant que si a est impair, alors a² est impair, démontrer maintenant que si a est pair, alors a² est pair.

D'apres la suite de l'enonce, il me semble que tu voulais dire "sachant que si a est impair alors a^2 est impair, demontrer que si a^2 est pair alors a est pair"