Colinearité de vecteurs (2nd)

[Anda]

Voilà j'ai un exercice sur la colinéarité de vecteur et je n'ai strictement rien compri ... Si je pouvais avoir un peu d'aide =D

Voici l'énoncé :

ABC est un triangle equilatéral de côté 2 cm.
M est le milieu du côté [AC].
N est le symétrique de B par rapport à C.
P est le point tel que le vecteur BP = -2/3 du vecteur AB.

1) a. Calculer les coordonnées des points M,N,P dans le repère (B;[vect]BC,[vect]BA)

b. Démontrer que les points M, N et P sont alignés.

2) a. Démontrer que le triangle ABN est rectangle.
b. En deduire la longuer AN.


Voilà :s Merci d'avance =)

[Taupin sur Lyon]

1/ Les coordonnées, t'as trouvé quoi ? Ce n'est pas très compliqué, fait un dessin pour t'aider !

2/ Là, calcule les coordonnées des vecteurs MN et MP ! Si celles-ci sont proportionnelles, alors tes vecteurs sont colinéaires, donc tes points M,N,P alignés !

3/ Indice : détermine la mesure de l'angle ANB ;)

[Anda]

1.a Pour les coordonnées j'ai trouvé :
M(1,1) ==> Je ne sais pas vraiment le faire comme c'est un repère quelconque :s
N(2,0)
P(0,2.6) ==> Comme c'est une valeur approchée je ne suis aps sûre de ça ...

Donc pour après la démonstration des points alignes j'ai compri mais comme ça mettonerait que mes coordonnées soit exactes je ne sais pas ...

[Taupin sur Lyon]

Pour le point P... Je ne vois pas d'ou tu sors le 2.6 !
Puisque tu as BP = 2/3 * BA ( en longueur ), et P appartient à BA ! Donc tu as les coordonnées de P !
Pour celles de M... la coordonée selon le vecteur BA n'est po compliquée... pour trouver l'autre, utilise la trigo !

[Anda]

Après avoir revu l'exo je trouve :

A) BM= BC+CM=BC+1/2CA
= (1;0)+1/2(0-1;1-0) = (1;0)+(-1/2;1/2) = (1/2;1/2)

Donc, M(1/2;1/2)

Ensuite, N(2;0) et P(0;2/3)

B) Si M,N et P sont alignés alors il existe un réel k tel que :
MN=kNP MN(3/2:-1/2) NP(-2;2/3)
(3/2;-1/2)=k(-2;2/3)

3/2=k(-2) k=-3/4 ==> MN=-3/4NP
-1/2=k(2/3) k=-3/4 ==> N, M et p sont colinéaires

Comme ils sont colinéaire et qu'ils ont un point en commun (N) les points M, N et P sont alignés.

Par contre je ne connais aucune façon de démontrer qu'il st rectangle .. et je n'arrive pas a le faire avec ton "indice" :s

Merci =)

[Anda]

Après je vais devoir utiliser pythagore mais je n'arrive réellement pas à comprendre comment on prouve que le triangle est rectangle ... en tout cas avec ce que j'ai fait comme cours

[Taupin sur Lyon]

Non... pas besoin de Pythagore si tu montres que l'angle vaut 90° ;)
Tu sais déja que l'un des 2 autres vaut 60 !
Et rappelles-toi des propriétes "angles inscrit-angles au centre" ;)

[Anda]

"Angles incrits-angles au centre" ce n'est pas dans un cercle :| ?
Je suis toute embrouillée là T_T
Et ce que j'ai fais avant est juste ?

[Taupin sur Lyon]

Oui oui, c'est juste ;)

Si, en effet, c'est dans un cercle ! Ici, prend C le centre de ton cercle...
Tu connais l'angle BCA, et ABC aussi !
Je te demande alors l'angle BNA... ;)

[Anda]

BNA= 180-NBA-NAB = 180-60-60=30°
BNA=30°

Mais je ne vois toujours pas ...

Par contre je crois avoir trouvé autre chose : (Mais bon je crois que je me suis un peu enflammée sur la chose donc --')

J'ai : BC = 2cm
BC = CN (vectoriellement) donc BC = CN = 2cm
C est le milieu de [BN]

or, si le milieu C du côté [BN] est equidistant des 3 sommets B, a et N alors le triangle ABN est rectangle et a pour hypotènuse le coté [BN].
Donc le triangle est rectangle en A.


et donc ensuite avec Pythagore :

BN²=AB²+AN²
AN²=4²-2²=16-4=12
AN=racinede 12

Voila ... je sais pas si c'est bon ou pas ... En tout cas je n'ai pas comprit ce que tu cherche a faire avec les angles au centre et inscrit :hein:

[Taupin sur Lyon]

Oui, bien vu pour l'utilisation du théorème du triangle rectangle inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse !

Sinon... pour ma méthode, une fois que que tu as BNA = 30°, et tu sais que ABN=60° ! Alors tu as BAN=90°, car la somme des angles d'un triangle est 180° ! D'ou le fait que ABN soit rectangle ;)

Mais ta méthode est tout aussi astucieuse, garde-la ! :)

[Anda]

Ahhh :) En effet, je n'avais pas tout compri ^^

Merci beaucoup pour cet exercice, Bonne soirée :)