Coeff binôme

[Hlb28]

Bonjour à tous,
Je me pose une question j'aurais besoin de votre aide svp
Comment puis je prouver que, pour tout
n >=4 :
(2n+5)*(N+3)^n<(n+4)^(n+1)
En utilisant un développement avec les coefficients binomiaux
Merci

[Ben314]

Salut,
Si ce que tu es sensé démontrer, c'est que c'est vrai pour tout entier naturel n, c'est vite plié vu que déjà c'est faux pour n=0.
Et si ce que tu doit montrer, c'est que c'est vrai pour certains n (voir pour au moins un), ben... ça serait bien de le dire et/ou de préciser le(s)quel(s).

[Hlb28]

Oui pardon , pour n>=4
Désolé ! J'ai modifié le message por plus de clarté

[Ben314]

Si tu doit absolument utiliser la formule du binôme de Newton, vu que ç'est déraisonnable de développer les deux cotés (on obtiendrais deux sommes à comparer et c'est le bordel), tu as fortement intérêt à prendre un des truc "sous" les exposants comme variable, donc par exemple poser ce qui signifie qu'il faut démontrer que pour tout .

Ensuite, le tu dit qu'il est au moins égal à la somme des 2 (ou 3 ou 4 : à voir...) premiers termes du développement obtenu à l'aide du binôme de Newton et tu regarde si ça suffit pour conclure qu'il est strictement plus grand que (si ça suffit pas ben tu prend un terme de plus...)

[Tiruxa47]

En fait c'est la suite du post de Pseuda du 29 janvier... où il donnait déjà une méthode qui fonctionne !

On obtient Sn+1 < (n+2) * Sn + (n+3)^(n+1) < (n+3)^n * (2n+5).
Puis on montre que ceci est < (n+4)^(n+1).

Ceci se fait en développant ((n+4)/(n+3))^n = (1+1/(n+3))^n par la formule du binôme jusqu'au 3ème terme.

[Manny06]

tu peux écrire (n+4)^(n+1)=[(n+3)+1]^(n+1) et développer par la formule du binôme jusqu'au 3° terme
(n+4)^(n+1)=(n+3)^(n+1)+(n+1)(n+3^n +[n(n+1/2])(n+3)^(n-1) +A avec A>0
ensuite tu soustrait(2n+5)(n+3)^n ce qui fait -(n+3)^n +[n(n+1/2])(n+3)^(n-1) +A
mets (n+3)^(n-1) en facteur dans les deux premiers termes et tu trouveras un produit positif pour n>3