J'ai un exercice sur le cercle d'Euler, et je bloque sur la dernière question. Voici l'exercice.
I, J, et K sont les milieux des côtés du triangle ABC.
A', B', C' sont les pieds des hauteurs de ce triangle. H l'orthocentre.
E, F, G sont les milieux des segments [AH], [BH] et [CH]
On souhaite montrer que ces 9 points sont cocycliques.
1. Démontrer que (KF) parallele à (AH)
2. Démontrer que les quadrilatères KJGF, FEJI, EGIK sont des rectangles.
3. Démontrer que les segments [FJ], [KG] et [EI] ont le même milieu puis que les points E, F, G, I, J, K appartiennent à un même cercle.
4. Démontrer que les points A', B', C' appartiennent aussi à ce cercle.
Voici ensuite ce que j'ai fait :
1. J'applique le Th des milieux dans le triangle BAH avec les milieux K et F de [AB] et [BH]. La droite qui passe par les milieux de deux côtés d'un triangle est paralèlle au troisième côté. Donc (KF)//(AH)
2. La même chose dans le triangle CAH donne : (JG)//(AH)
On a donc par transitivité : (JG)//(KF)
De même, on montre d'une part par le theoreme de la droite des milieux que (FG)//(BC) et (JK)//(BC) et donc que finalement (JK)//(FG)
Un quadrilatère ayant ses côtés opposés paralèlles est un parallélogramme. Donc KJGF est un paralellogramme.
On a (KF)//(AH) et (AH) perpendiculaire à (BC). Donc (KF) perpendiculaire à (BC). Or (BC)//(FG) donc (FG)//(KF). KJGF est un parallelogramme qui a un angle droit, c'est donc un rectangle.
Les mêmes raisonnements aboutissent à FEJI et EGIK rectangles.
3. Les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu et ont même mesure. Donc les segments [FJ], [KG] et [EI] ont le même milieu et sont de mêmes mesures. Ainsi en notant O le point d'intersection de ces segments. E, F, G, I, J et K sont situés sur un même cercle de centre O.
4. Par contre je ne sais pas comment faire pour cette dernière question. (??)
Je vous remercie d'avance.
