Calculer cette limite sans utiliser la règle de l hôpital

[Ot18]

Bonjour, je suis blocké est-ce que quelqu’un peut m’aider s il vous plait
lim x -> 0 (2x-sin(2x))/((2x)^2)

[Ben314]

Salut,
Déjà, je vois vraiment pas l'intérêt du qui traîne partout dans ta limite : c'est évidement la même chose que .
Ensuite, si tu ne veut pas utiliser ni la règle de la règle de L'Hôpital, ni développement limité ni quoi que ce soit qui ressemble de prés ou de loin à une des formules de Taylors, alors... il faut un peut réfléchir...

Une méthode très simple (seul prérequis : les tableaux de variation de fonctions), mais longue, c'est d'étudier les fonctions qui donnent .

Si on a pour tout donc est croissante sur [tableau de variations de ]
Or donc sur puis sur ce qui signifie que est décroissante puis croissante avec un minimum en [tableau de variations de ].
Or donc sur ce qui signifie que est croissante sur [tableau de variations de ].
Et comme , ça signifie que sur puis que sur c'est à dire que pour et que pour .

Même raisonnement avec qui donne pour tout et qui permet à terme d'obtenir d'autres inégalité concernant .

Et avec les encadrements obtenus, tu conclue facilement concernant la limite en question.

[Ot18]

C est un tout petit peu long mais cv j ai compris votre raisonnement, Merci beaucoup pour votre temps.
Sinon existe-t-il une méthode plus courte ?

[Ben314]

Pour qui ressemble un peu à ton truc, y'a l'astuce classique de multiplier le numérateur et le dénominateur par , mais là je vois pas bien comment faire.
Bref, en utilisant uniquement les outils "standard" du Lycée, à froid, je vois pas d'autre truc que celui que je t'ai proposé ci dessus.