Calcul de taux dégressif

[bert31]

Bonjour à tous,

Nous avons créé une association de type ludothèque et nous facturons au nombre d'enfants dans la fratrie. La base du calcul est un enfant = une unité de temps (T)

Les années précédentes nous avions établi des taux dégressifs complètement arbitraires mais cette années on a décidé de faire les choses bien alors on va passer par les maths.

Voici notre postulat :
- 0 enfant = 0 T
- 1 enfant = 1 T
- 3 enfants = 2 T
Nous voudrions connaître la valeur de T pour x enfants.

Mon but est de trouver la fonction qui me permettra d'avoir le taux dégressif le plus pertinent.
Me rappelant vaguement de mes cours de math du lycée j'ai décidé de voir ce qui se passait si je calculais l'équation de la fonction de degré 2 passant par par mes trois points. Mais, me direz-vous, une fonction de degré 2 est exponentielle, or tu veux une courbe croissante mais dégressive. Oui c'est vrai mais au final je veux une parabole. Ensuite je verrai dans quel sens je la tourne.

Mes calculs me donne donc la fonction f(x) = (x^2)/2 - x/2
(x carré sur 2 moins x sur 2)
Puis je retourne ma petite fonction en utilisant la formule de la fonction réciproque et je tombe sur
f(x) = (2x + 1/4)^1/2 - 1/2
(racine de 2x plus un quart moins un demi).

Mes questions à la communauté sont :
- Ma démarche vous semble-t-elle correcte ?
- Si ce n'est pas le cas existe-t-il une meilleure façon de faire ce calcul ?

Merci d'avance pour votre aide
Bertrand

[catamat]

Bonjour

La fonction que vous avez trouvé convient dans la mesure où elle passe par les points voulus.

C'est une branche de parabole ce que vous semblez souhaiter. La fonction est croissante et la courbe concave ce qui est normal pour un tarif dégressif.

Juste une remarque c'est f(x)= x²/2+x/2, soit + non pas -.

On obtient donc demi tarif pour 6 enfants. Si vous voulez un tarif plus réduit encore vous pouvez utiliser le point (4,2) au lieu de (3,2).

Pour une augmentation moins rapide sans changer les points on peut utiliser une fonction logarithmique du type a*ln(x+b)+c en calculant donc a, b et c pour que la courbe passe par les trois points.

[AMARI]

Bonjour à Tous,

Une nouvelle piste me parait convenable.
D'après les données, une suite numérique répond à ces hypothèses :
Elle est de la forme :
U(n+1) = aUn + b
Uo=0
U1=1
On aura :
U1 = aUo + b = 1
Donc b=1
U(n+1) = aUn + 1
U2 = aU1 + 1 = a + 1
U3 = aU2 + 1 =a(a + 1) + 1 =2
Donc a² + a - 1 = 0
On trouve que : (La valeur positive de "a" convient).
a = = ((5)^1/2) - 1) /2 ((Racine de 5) moins 1) diviser par 2)
U(n+1) = ((5)^1/2) - 1) /2).Un + 1
On doit trouver Un en fonction de "n".
On connait :
L = b/(1-a) = (3 +(5)^1/2))/2) ( 3 plus (racine de 5) diviser par 2)
Et la formule générale :
Un = (Uo - L).a^n - L ( Uo moins L)x ("a" expo "n") moins L)
Un = -(3 + ((5)^1/2)/2).((5)^1/2)- 1)/2) + (3 + ((5)^1/2)/2
Un = (3 + ((5)^1/2)/2)( 1 - ((5)^1/2)- 1)/2))^n )
Un est égale à (3 plus (racine de 5)) diviser par 2) facteur de 1 moins ((racine de 5) moins 1) diviser par 2) exposant "n".
Et qui vérifie les hypothèses données.
On trouve aussi que :
U2 = ((5)^1/2) + 1)/2 ((Racine de 5) plus 1)/2 et qui est compris entre U1 et U3 ) = 1,618 T

Merci à Tous

[bert31]

Merci beaucoup pour vos réponses