Calcul de cos(2pi/5)

[white62]

Bonjour j'ai un exercice que je n'arrive pas à faire pourriez vous m'aider svp

1)Montrer que 2pi/5 est solution de l'équation cos3x=cos2x (fait)

2)Montrer que pour tout réel x, cos3x=4cos²x-3cosx (indication 3=1+2 celui la j'arrive pas)

3)En déduire que cos3x=cos2x équivalent à 4cos^3x-2cos²x-3cosx+1=0

4)Justifier que cos(2pi/5) est solution de l'équation 4X^3-2X²-3X+1=0

Merci d'avance

[Tiruxa]

2)Montrer que pour tout réel x, cos3x=4cos²x-3cosx (indication 3=1+2 celui la j'arrive pas)

cos3x=cos(2x+x)=.....

en utilisant cos(a+b)=cosa cosb - sina sinb

puis cos(2x)= 2 cos²x - 1

et aussi sin²x = 1 - cos² x

cela devrait te permettre de conclure.

[paquito]

cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)=(cos²(x)-sin²(x))cos(x)-2sin(x)cos(x)sin(x)=
(cos²(x)-(1-cos²(x))cos(x)-2(1-cos²(x))cos(x)= je te laisse finir, mais le bon résultat est:
4cos^3(x)-3cos(x).

[white62]

Merci pour votre aide et je comprends beaucoup mieux maintenant et pour la question 4 il suffit juste que je remplace X par (2pi/5) et que je regarde le résultat et si on tombe sur 0 c'est que 2pi/5 est solution de l'équation c'est ça ??

[Tiruxa]

Merci pour votre aide et je comprends beaucoup mieux maintenant et pour la question 4 il suffit juste que je remplace X par (2pi/5) et que je regarde le résultat et si on tombe sur 0 c'est que 2pi/5 est solution de l'équation c'est ça ??

En quelque sorte mais utilise le résultat de la 3

[paquito]

En quelque sorte mais utilise le résultat de la 3

Tu poses X=cos(x); tu sais d'après ce qui précède que X=cos(2pi/5) est solution; on ne te demande pas de résoudre cette équation de degré 3.
Toutefois, tu peux vérifier que 4X^3-2X²-3X+1=(X-1)(4X²+2X-1) et tu trouveras cos(2pi/5)=(-1+V5)/4.

[white62]

d'accord je comprends beaucoup mieux cet exercice grâce à vous merci beaucoup pour votre aide