Calcul de cos(2pi/5) (en Seconde)

[busard_des_roseaux]

Bonsoir,

Le calcul des valeurs exactes de et peut se faire dès la classe de Seconde. :doh:

Voiçi un énoncé d'exercice ad hoc:

Soit ABC un triangle isocèle d'angles de base degrés.

La bissectrice de l'angle coupe le côté en un point D.

question 1

Dessinez la figure au rapporteur.
Combien comporte-t-elle de triangles isocèles en tout ?

question 2
on pose u=AD , v=CD.
démontrer que





question 3
vérifier l'identité remarquable
deux nombres réels


question 4
on pose



démontrer que et

question 5
en déduire les valeurs exactes de
et

hint: résoudre un, voire deux systèmes. Faire le tri dans les solutions obtenues !


Cordialement, :dodo:

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

Indications question 1:

on calcule les mesures de tous les angles.
Il y a trois triangles isocèles en tout.

Indications question 2:
dans les trois triangles isocèles, on mène les hauteurs principales.

On peut alors faire de la "trigonométrie de triangle rectangle"
et calculer les différents cosinus.

[busard_des_roseaux]

On remarque que


est quasiment l'inverse de



d'où l'idée de calculer le produit x(-y)



d'où le calcul de x+(-y)

on en tire deux résultats possible pour la somme x+y

[busard_des_roseaux]

re,

finalement, en posant


on obtient:



d'où deux systèmes possibles


ou



le deuxième système a des solutions négatives, qui ne conviennent pas
car du fait de la stricte décroissance du cosinus

le 1er système a pour solution les valeurs


( le nombre d'or)

il suffit d'associer le cosinus
avec la plus grande valeur trouvée