Besoin d'aide pour un Dm fonctions exponentielles.

[ptit-joy]

Bonjour à tous !!

J'ai un Dm à faire et je bloque sur certains points. Biensur j'en ai déjà fais une partie.

On se propose de démontrer le théorème suivant :
Si f est une fonction dérivable, distincte de la fonction nulle, alors les propositions (1) et (2) sont équivalentes :
(1) Pour tous réels x et y : f(x+y)=f(x)f(y)
<=> (2) il existe un réel k tel qye pour tout réel x f'(x)=kf(x) et f(o)=1.

Grand 1 :
(1) => (2)
Montrer qu'il existe a appartenant à R (tout réels) avec f(a) pas égal à 0. Et en considérant f(a+0) montrer que f(0)=1. CECI EST DEFA FAIT.

Soit x un réel fixé quelconque et soit g la fonction définie par :
g:y -> f(x+y)=f(x)f(y).
a) Calculer g'(y) de 2 manières différentes : J'obtiens g'(y)=f'(x+y) et g'(y)=f(x)f'(y).
b) En déduire g'(0) et conclure ? JE NE TROUVE PAS COMMENT FAIRE !!!

Grand 2
(2)->(1). En supposant (2) vrai. Soit y un réel fixé et Soit "fille" la fonction définie par "fille'(x)=f(x+y)/f(x).

Montrer que "fille" est une fonction constante que l'on déterminera et conclure.

J'ai posé "fille" '(x) = [f'(x)f(y)-f(x)f(y)]/[f'(x)]²
=[kf(x)f(y)-f(x)f(y)]/[kf(x)]²
=0 ?????

Merci à vous !!

[arnaud32]

1)b) g'(y)=f'(x+y)=f(x)f'(y) donc g'(0)=f'(x+0)=f(x)f'(0)
donc f'(x)=f(x)f'(0)
il ne te reste qu'a conclure.



2).

et h'=0

[ptit-joy]

Merci, je venais juste de trouver le 2).
Par contre, je ne vois pas comment conclure le 1.b)...
F'(0) est le réel K ?

[ptit-joy]

Merci, je venais juste de trouver le 2).
Par contre, je ne vois pas comment conclure le 1.b)...
F'(0) est le réel K ?

[arnaud32]

bingo! c'est exactement ca.

[ptit-joy]

Un grand MERCI !! J'en avais besoin ;).