[TleS] Arithmétique

[Anonyme]

Bonjour,
j'ai un petit exercice de spécialité,
qui ne me posait pas de problème
jusqu'à ce que j'arrive à la dernière question.
En voici l'énoncé :

"Le but de l'exercice est de prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
1) Montrer que tout nombre impair est congru soit à 1 soit à 3 modulo 4.
Citer trois nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
2) On suppose que tous les diviseurs premiers d'un entier n sont congrus à 1 modulo 4. Montrer alors que n est congru à 1 modulo 4.
3) Si l'on désigne par m un entier congru à 3 modulo 4, utiliser la question 2) pour prouver qu'au moins un diviseur premier de m est congru à 3 modulo 4.
4) On désigne par E l'ensemble des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 et on suppose que E est fini. On note alors p son plus grand élément. On pose enfin M = 2*3*5*7*...*p + 1(c'est-à-dire le produit de tous les nombres premiers jusqu'à p auquel on ajoute 1)
a) Prouver que M est congru à 3 modulo 4.
b) aboutir à une contradiction et conclure."

J'ai donc tout fait jusqu'à la question 4)b) ;
voici ce que cela donne :

1) Un entier impair s'écrit sous la forme 2n + 1 ; on cherche tous les résultats possibles de la division de 2n + 1 par 4.

2) n peut s'écrire sous la forme p1*p2*p3*...*pn
où les p représentent les diviseurs premiers de n
Or si chaque diviseur est congru à 1 modulo 4, n est congru à 1 x 1 x 1 x ..., donc 1 modulo 4.

3) m est congru à 3 modulo 4, donc impair, donc 2 n'est pas diviseur de m.
m est congru à (1^x)*(3^y) modulo 4. Si y est pair, m est congru à 1.
Donc y est impair, donc au moins un diviseur de m est congru à 3 modulo 4

4)a) M est congru à 2*1*3^y + 1 modulo 4.
Selon p 3^y est congru à 3 ou 1 modulo 4 ;
donc M est congru soit à 2*1*1 + 1 modulo 4 (donc 3), soit à 2*1*3 + 1 modulo 4 (donc 3 aussi).

b) Là j'ai un doute ... je pense qu'il faut partir de ceci :
soit Pj un premier < p tel que Pj divise M, mais je ne vois pas vraiment la suite ...

Merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider

[tize]

Bonjour,
la rédaction est plutôt pas terrible mais je suppose que c'est un résumé de ce que tu as écris dans ta copie...?
Sinon pour la 3) tu n'utilises pas vraiment la 2)... tu peux faire comme ceci :
comme tu l'as plus ou moins dis, si l'un des facteurs de m est congru à 0 ou 2 modulo 4 alors m serait pair donc tous les facteurs de m sont congrus à 1 ou 3 modulo 4. Si ils étaient tous congrus à 1 modulo 4 alors d'après 2) m serait lui même congru à 1 modulo 4 ce qui n'est pas le cas ! Il existe donc au moins un facteur de m qui est congru à 3 modulo 4.

Pour la 4) a) : si on appelle q le nombre premier juste avant p alors
M=2*3*5*7*...*q*p + 1 mais 2*3*5*...*q est pair donc congru à 2 modulo 4 !
D'autre part p est congru à 3 modulo 4 donc 2*3*5*7*...*q*p est congru à 6 modulo 4 et du coup M est congru à 7 modulo 4 ce qui est la même chose que 3 modulo 4.

Pour la 4)b) : c.f. Rain'.
Salut Rain' :we: (c'est en référence au 5ème éléments ?)

[Anonyme]

C'est bien plus clair, maintenant ;
merci beaucoup à tous les deux !