Arithmétique spé maths

[lara471]

bonjour,
(1). Le nombre 2^11 - 1 est-il premier ?
(2). p et q étant deux entiers naturels non nuls, quel est le reste de la division par 2^p - 1 du nombre 2^(pq) = (2^p)^q ?
En déduire que 2^(pq) - 1 est divisible par (2^p - 1) et (2^q - 1).
(3). Démontrer que, si 2^n - 1 est premier, alors n est premier.
La réciproque est-elle vraie ?

pour la 1), en faisant tous les essais j'ai montré que oui, 2047 - 2^11 -1 est premier,
pour la 2), je n'y arrive pas : j'ai posé (2^p)^q =( 2^p - 1 ) x K + R
K appartenant à Z, et R compris entre 0 et 2^p - 2, mais je ne sais pas comment poursuivre, si vous pouviez m'aider ça serait sympa, merci beaucoup !

[lara471]

aidez moi ...

[oscar]

Bonsoir

2^11 - 1 est premier
2^11= 2048

[neibaf]

Bonsoir,

si tu lis bien ta question 2, on te dit que le reste doit être 1, donc à toi de prouver que c'est 1...

le signe = ci-dessous est à prendre dans le sens "congru à" (3 barres normalement...)
donc

le reste devrait aller mieux...

[rene38]

Bonsoir

le signe = ci-dessous est à prendre dans le sens "congru à"
donc

[TEX ]2^p\equiv 1[2^p-1][/TEX ] donc [TEX ](2^p)^q\equiv 1^q[2^p-1][/TEX ]
donc