TS arithmétique (spé maths)

[maxime0803]

Bonjour à tous,

j'ai un petit probleme avec cet exercice d'arithmétique issu des annales:

Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y.
S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x, y) = y ;)x.

1. a. Calculer le PGCD(363, 484).
b. Le couple (363, 484) appartient-il à S ?

2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n, n +1) appartient-il à S ?
Justifier votre réponse.

3. a. Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si il existe un entier
naturel k non nul tel que x = k(y ;)x) et y = (k +1)(y ;)x).
b. En déduire que pour tout couple (x, y) de S on a :
PPCM(x, y) = k(k +1)(y ;)x).

4. a. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
b. En déduire l’ensemble des couples (x, y) de S tels que PPCM(x, y) = 228.


J'ai réussi sans problèmes les questions 1 2 3b et 4a mais javoue que je suis un peu bloqué sur les autres questions...
Merci de votre aide

[dom85]

bonjour,

3)a)
on sait que PGCD(x;y)=y-x si et seulement si il existe u et v entiers premiers entre eux tels que :
x=u(y-x) et y=v(y-x)
on a donc :
x-y=(u-v)(y-x) d'où v=u+1
donc si (x-y) appartient à S, il existe un entier naturel k tel que x=k(y-x) et y=(k+1)(y-x)

reciproque:
si il existe un entier k tel que x=k(y-x) et y=(k+1)(y-x)
on sait que k et k+1 sont premiers entre eux donc y-x est le PGCD de x et y
donc (x;y) appartient à S