L'arithmétique dans N

[Hanaconda]

Bonsoir à tous !

J'ai un petit exercice en maths, j'ai déjà résolu une grande partie d'exercices mais je bloque pour certains.
Les voici :

Soit n un entier naturel, étudier la parité du nombre suivant :

g = n(n+1)+(n+1)(n+3)+(n+3)n = 2k + (n+3)(n+1+n) ; 2k = n(n+1) ∈ N
g = 2k + (n+3)(2n+1)

Et ensuite, je bloque.

puis y a celui-ci :

Soit n un entier naturel impair.

Montrer que le nombre 3x2^(2n+1)+7x4^n est divisible par 13

Et finalement :

- Soit n un entier naturel, on pose : a = 2^n x 3^4 + 2^n et b = 3^n x 2^4 + 3^n

a) Montrer que a = 2^(n+1) x 41 et b = 3^n x 17 ? En déduire la parité de a et b ?
b) Montrer que (a-2^n)(b-3^n) est divisible par 1296 ? Et que 3^n x a - 2^n x b est un multiple de 5 et 13.

Voilà, c'est tout. Merci d'avance.
Et au passage, si vous n'avez pas du temps pour le troisième, tant pis. Je tiens vraiment à résoudre les deux premiers, s'il vous plaît !

[zygomatique]

g(n) = n(n + 1) + (2n + 1)(n + 3) a même parité que (2n + 1)(n + 3) = 2(n + 1)(n + 3) - (n + 3) qui a même parité que n + 3 ...




et finalement il suffit de factoriser a par 2^n et b par 3^n ....

[Hanaconda]

Merci beaucoup !
En revanche, je comprends pas vraiment pour la première rép. (2n+1)(n+3)=(2n+1)(n+3)-(n+3) ?

Passez une bonne soirée !

[annick]

Bonjour,

tu peux envisager séparément les deux cas :

1) n pair, donc n=2k soit g=(2k)(2k+1)+(2k+2)(2k+3)+(2k+3)(2k). Tu remarques alors que tu peux mettre 2 en facteur dans chacun des termes et que donc g sera pair.

2) tu fais de même pour n impair, soit n=2k+1 et tu devrais arriver à la même conclusion.

[zygomatique]

Merci beaucoup !
En revanche, je comprends pas vraiment pour la première rép. (2n+1)(n+3)=(2n+1)(n+3)-(n+3) ?

Passez une bonne soirée !

tu n'as pas écrit ce que j'ai écrit ...