Arctan

[Ncdk]

Bonjour,

Je voulais savoir si au niveau Terminale S, on pouvait montrer cette égalité et comment on peu procéder ?



Je pensais comment par montrer que visuellement ça a l'air d'être bon, avec un bon dessin. Mais qu'en est-il de la preuve algébrique ?

[Black Jack]

Salut,

Se servir de la relation : tan(a +/- b) = (tan(a) +/- tan(b))/(1 -/+ tan(a).tan(b))

Si on ne la connait pas, on peut avoir la démo ici :
http://wallon2009.free.fr/fichiers/demo ... _trigo.pdf


tan(arctan(1) + arctan(2)) = [tan(arctan(1)) + tan(arc(tan(2)))]/[1 - tan(arctan(1))*tan(arctan(2))]

tan(arctan(1) + arctan(2)) = (1+2)/(1 - 1*2) = -3 (1)

tan(Pi - arctan(3)) = [tan(Pi) - tan(arc(tan(2)))]/[1 - tan(Pi)*tan(arctan(2))]
tan(Pi - arctan(3)) = (0 - 3)/(1 - 0*2) = -3 (2)

(1) et (2) -->

tan(arctan(1) + arctan(2)) = tan(Pi - arctan(3))

Comme (arctan(1) + arctan(2)) et (Pi - arctan(3)) sont dans le 2eme quadrant, on a donc :

arctan(1) + arctan(2) = Pi - arctan(3)

arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = Pi

[aviateur]

Bonjour
Je ne sais pas très bien ce que connait un élève de terminale mais je pense avoir compris la question (utiliser les formules les + basiques)
Grosso modo il doit savoir que tan(pi/4)=sin(p/4)/cos(pi/4)=1 donc arctan(1)= Pi/4.
Donc on peut se contenter de montrer que a=arctan(2)+arctan(3)=3\pi/4. Avec quelques explications on peut expliquer qu'il suffit de montrer que et
Posons est un angle aigu et
Donc vérifie donc une équation algébrique du second degré donc on peut le calculer et aussi le cos. Idem avec .
Pour finir si l'élève connait les formules cos(x+y) et sin(x+y) alors il reste à faire les petits calculs.
Je n'ai pas vu la réponse de Black Jack mais je pense qu'il y a un choix à faire en fonctions de connaissances TS

[Pseuda]

Bonjour,

La fonction tan n'est pas (plus) au programme de TS, et la fonction arctan non plus. Il ne sait donc pas ce que c'est (intervalle de définition...). A propos de tan, il sait juste que tan=sin/cos (du collège). Il ne connait donc pas la formule d'addition des tangentes (ou il faut la démontrer au préalable). ll connait les formules d'addition de cos et de sin.

[aviateur]

Merci Pseuda, donc il faut faire comme j'ai dit.

[Black Jack]

Merci Pseuda, donc il faut faire comme j'ai dit.

Salut,

Et pourquoi donc ?

Si la fonction actan() n'est pas au programme et ne peut pas être abordée ... alors la question n'a aucune raison d'être posée.

Si elle est supposée connue, alors on ne peut pas non plus exclure la connaissance de la relation tan(a+b) = ...

Remarque que je n'ai rien comme ton approche, mais elle se heurte au même "interdit", si arctan() n'est pas au programme et interdit, la question ne doit simplement pas exister... et les différentes manières de répondre non plus.

Non ?

[Pseuda]

Bonsoir,

On peut donner la formule d'addition des tangentes tan(a+b), comme cela a été fait lors d'un bac récent, de mémoire celui de 2016.

Et ils connaissent les vocables arctan, arcsin et arccos depuis le collège, qui donnent l'angle à partir du rapport trigonométrique, ils apparaissent dans les calculatrices comme atan ou tan^-1.

[infernaleur]

Je confirme ce que dit Pseuda j’avais passé ce bac et on nous avait donné la formule tan(a-b).
Par contre en terminale notre prof nous avait enseigné un tout petit peu la fonction tangente (tan=sin/cos et domaine de définition c’est tout je crois) mais pour ce qui est des formules d’addition de cos et sin j’en ai jamais entendu parlé jusqu’au supérieur. Les seules formules de trigo pour cos et sin que l’on devait connaître c’etait cos^2+sin^2=1 et les formules du type cos(pi-x) etc ... Mais bon peut être que mon prof ne suivait pas le programme a la lettre ou que le programme a été modifié depuis.

[chan79]

Salut
le même problème sous une autre forme (carrés de côtés 1)
Pour calculer , on calcule son cosinus avec la formule: cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

[Pseuda]

Je confirme ce que dit Pseuda j’avais passé ce bac et on nous avait donné la formule tan(a-b).
Par contre en terminale notre prof nous avait enseigné un tout petit peu la fonction tangente (tan=sin/cos et domaine de définition c’est tout je crois) mais pour ce qui est des formules d’addition de cos et sin j’en ai jamais entendu parlé jusqu’au supérieur. Les seules formules de trigo pour cos et sin que l’on devait connaître c’etait cos^2+sin^2=1 et les formules du type cos(pi-x) etc ... Mais bon peut être que mon prof ne suivait pas le programme a la lettre ou que le programme a été modifié depuis.

Bonjour,

Les formules d'addition et de duplication des cos et sin sont pourtant au programme de 1èreS (vues lors des applications du produit scalaire). Le programme n'a pas changé depuis 2016. Cela ne laisse visiblement pas un souvenir indélébile !
Et certains profs font du hors programme, comme certains livres.

[Ncdk]

Merci pour vos réponses.

J'avais pensé qu'on pouvait y arriver sans trop donné d'indication, mais si déjà ce n'est pas au programme, enfin je pense qu'ils savent se servir de la touche (tan^-1) sur leur calculette, mais c'est tout. L'exercice n'a pas vraiment d'intérêt à part visuellement parlant. Mais encore une fois, tout repose sur la connaissance de la fonction Arctan.

Le but était de faire cet exercice en prise d'initiative, si c'est pour donner des aides, ça n'a plus vraiment vocation à être une prise d'initiative

[nodgim]

A mon époque Lycée, c'était faisable en passant par l'addition des sin et cos de 2 angles. On n'avait pas connaissance de la formule indiquée par Black Jack, mais seulement de certaines identités tg qu'il fallait connaitre par coeur, dont :
1 + t²a = 1 / cos²a
sin a = 2t / (1+t²) avec t= tg (a/2)

Formules de trigonométrie démontrées en cours.

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour les 3 carrés juxtaposés, c'est un classique. Cela marche parce que ou encore . Cela ne marche pas pour tous les entiers .Mais il y en a une autre je crois, avec plus que 3 carrés.

[chan79]

une petite interprétation géométrique avec 6 carrés:
Le triangle rouge est rectangle isocèle

arctan(1)+arctan(2)+arctan(3)=

[Ben314]

Salut,

Je voulais savoir si au niveau Terminale S, on pouvait montrer cette égalité et comment on peu procéder ?

Je pensais comment par montrer que visuellement ça a l'air d'être bon, avec un bon dessin. Mais qu'en est-il de la preuve algébrique ?

Perso, si c'est avec un public qui connaît les complexes, mais pas trop les tangentes, je ferais montrer le truc de base de chez de base concernant la tangente, a savoir que "ça se lit" sur la droite d'équation vu que c'est juste du Thalès et surtout du fait que cette droite est la " tangente naturelle" au cercle trigo. (vu qu'on mesure les angles en partant du point x=1; y=0) et que c'est ça qui explique que la fonction soit appelée "tangente"
Ensuite, ben on en déduit bêtement que l’arctangente d'un réel quelconque , c'est l'argument (entre -pi/2 et pi/2) du complexe et donc que pour évaluer , il suffit de de déterminer les arguments du produit (qui, miraculeusement, vaut ...)