Aidez-moi! ce problème me rend folle!

[JessicaB]

Voila j'ai un problème de math, pouvez-vous m'aider?

un homme est dans une piece circulaire. Cette piece a 1000 portes fermées, numérotées de 1 à 1000, toutes fermées. l'homme en partant de la porte 1 tourne le long de la piece en changeant l'etat de toutes les portes multiples de 1.

Au second tour, il change l'etat de toutes les portes multiples de 2.

Au 3eme tour celle multiples de 3. et ainsi de suite jusqu'au millième tour.

l'etat d'une porte : ouverte ou fermée. donc changement d'etat: ouvrir une porte fermée ou fermée une porte ouverte ^^

Combien de portes seront ouverte à la fin? pourquoi?

merci beaucoup d'avance

[Yawgmoth]

Il faut analyser un peu le problème pour en tirer des infos utilisables. En effet, tu ne vas pas chercher tous les nombres jusque 1000 qui sont multiples de 2 etc ... ce serait quasi aussi long que de faire l'expérience ^^ .

Tu es d'accord que une fois que tu as fait ton premier tour, tu ne toucheras plus à la porte 1 ? Une fois que tu as fait ton deuxième tour, tu ne toucheras plus à la porte 2 ... etc.

Il faut également admettre que seul le premier tour modifie l'état de toutes les portes car c'est le seul nombre dont tous les autres nombres soient le mutiple. Donc en fait, après le premier tour, toutes les portes sont ouvertes.

Maintenant, prenons des nombres au hasard et cherchons leurs diviseurs (autres que 1) et tentons de trouver ce qu'ils ont en commun :

- 20 ==> 2, 4, 5, 10, 20 (5 diviseurs)
- 37 ==> 37 (1 diviseur)
- 98 ==> 2, 7, 14, 49, 98 (5 diviseurs)
- 14 ==> 2, 7, 14 (3 diviseurs)
- ...

On voit qu'en général, tous les nombres ont un nombre impair de diviseurs (si on ne prend pas 1 en compte et qu'on suppose que l'état de départ des portes est qu'elles sont toutes ouvertes).
Or, lorsque tu as deux état possibles A et B et que tu changes ces états un nombre impair de fois en partant de A par exemple, tu aboutiras forcément à B.
Tu peux essayer avec ta porte si tu veux :zen: .

En clair, tu ouvres toutes les portes (premier tour) et ensuite tu dois toutes les refermer (il y a des exceptions :!: ) vu que tu changes leur état un nombre impair de fois.

Malheureusement, il y a des exceptions, qui, comme rené38 l'a bien dit, sont les nombres qui sont des carrés parfaits : 4, 9, 16, 25 et compagnie.

Dis-moi si ce que j'ai dit ne te convainc pas :mur: :marteau: .

[rene38]

Bonjour

... en général, tous les nombres ont un nombre impair de diviseurs (si on ne prend pas 1 en compte ...(il y a une exception ) Malheureusement, il y a un trouble-fête : le chiffre 4. La porte portant son numéro sera ouverte.
Dis-moi si ce que j'ai dit ne te convainc pas

Je crains qu'il y ait d'autres "exceptions" : 9, 16, 25, ..., a² avec a naturel ont tous un nombre de diviseurs impair si on prend en compte 1, pair sinon.

[Yawgmoth]

Oups oups oups, merci rené38, je modifie cela tout de suite !
Je m'excuse de l'erreur faite :marteau:

[rene38]

D'où on conclut qu'à la fin, 31 portes seront ouvertes.

[JessicaB]

Vos réponses m'ont beaucoup aidés :zen:

Alors si je comprend bien les portes ouvertes sont celles qui ont un numéro "carré parfait"

mais il y a quelque petites choses que je n'est pas compris. :hum: (vraiment désolé ça doit etre chiant Je sais^^)

je crois que je n'est pas tout a fait compris pourquoi pratiquement toutes les portes se referment (sauf celle des carré parfaits) Pourquoi les portes au numéro "carré parfait" seront ouvertes? leur divisibles ne sont pas impairs, c'est ça?

En tout cas merci infiniement. ça m'a beaucoup aidée. :we:

[JessicaB]

Comment tu as fait pour trouver tous les nombres au carré parfait, pour trouver 31? tu as pris les nombre un par un et les a multiplié par eux même? ^^ c'est comme ca que je fait. mais ca dois surement pas etre ça. Il doit y avoir un truc

en tout cas avec ma méthode je trouve 31 aussi ! ! ! ! yes!

[rene38]

Ce sont tous les naturels non nuls dont le carré est inférieur ou égal à 1000.

Or
donc tous les naturels inférieurs ou égaux à 31 (il y en a 31 ...) ont un carré inférieur à 1000 (croissance de la fonction carré)