On souhaite tailler dans un tronc d'arbre de rayon R une poutre de section rectangulaire d'aire maximale. La section du tronc est représentée ci-dessous par le cercle C de centre O et de rayon R et la section de la poutre par le rectangle ABCD inscrit dans C.
On pose AD=L et AB=l.
(il y a une figure : c'est une cercle de centre O, dont il y a une rectangle qui touche le cercle en ABCD de centre O)
a.Etablir une relation entre l, L et R. En déduire l en fonction de R et L.
Montrer que l'aire de ABCD s'écrit:
L
(4R²-L²).b.Soit la fonctionF définie sur [0,2R] par:
f(x) = x
(4R²-x²).Déterminer la fonction dérivée de f. Etudier le signer f'(x) suivant les
valeurs de x et en déduire le sens de variation de f.
c.Déduire de l'étude précédente la valeur de L pour laquelle l'aire de ABCD est
maximale.
Quelle est la nature de ABCD dans ce cas?
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