J'ai enfin fini mon DM de 7 exercices sur lequel j'avais fait un topic l'autre jour (sur une autre partie du DM de celle dont je vais parler)
Le dernier exercice (le 7 donc) demandait de : étudiez les variations de la fonction f définie sur ]o;+Inf[ par
Pour cela je dérive ma fonction f, et après un très court développement j'arrive au même résultat. Je fais le tableau de signe, je vois qu'entre 0 et +Inf f'(x) est négatif jusqu'en 1 puis ensuite positif. Alors f est décroissante jusqu'en (1;2) (car f(1)=2) puis croissante.
Pas de problème pour cette partie, très facile. Ensuite, on me dit "démontrez que pour tout nombre x strictement positif, la somme de x et son inverse est supérieure ou égale à 2"
Avec une amie de ma classe on a eu un petit débat sur comment procéder, voici nos deux opinions :
Moi : Je lui dis que dans f'(x), les "x" prennent une valeur positive à partir de x=1 et en effet f(1)=2 tout pile (ce qui rejoindrait le supérieure OU EGALE) à 2 de la consigne. Ainsi, 1+1/1=2 et si le x est supérieur à 1 (donc positif car les x positifs commencent à x=1 dans f'(x)), forcément le résultat sera supérieur à deux vu que le "minimum" à savoir 1, donnait 2. Et hop, démonstration faite.
Elle : Elle me dit que c'est de la fonction f que nous parlons, et que de toute manière 0.5+1/0.5=5/2 donc que ça marche aussi entre 0 et 1 et que par "x positifs" la consigne veut bien dire "x entre 0 et +oo". Je lui rétorque que c'est vrai pour f mais pas pour f', mais elle me répond assez justement que f'(x) sert juste à déterminer la variation de f, et puis qu'ensuite on en a plus besoin.
Elle me conseille d'écrire comme toute démonstration qu'on observe dans le tableau de variation de la fonction f et que pour tout x positif c'est supérieur ou égal à 2, que ce soit décroissant ou pas.
J'ai bien l'impression qu'elle a raison, il doit y avoir un lien entre nos deux réponses, je ne sais pas...
Quelle justification devrions nous apporter à l'exercice ?