Salut,
Dans ce type de problématique, il faut
bien préciser le contexte dans lequel on se place :
1) Soit on cherche réellement une fonction qui passe exactement par les points demandés parce que... on a envie d'en trouver une... et il y a des tonnes et des tonnes de solutions :
a) On peut évidement en prendre une affine par morceau qui sera donc continue, mais à priori pas dérivable.
- On peut faire un peu mieux en prenant des morceaux de paraboles : en s'y prenant bien, elle sera dérivable, de dérivée continue, mais pas deux fois dérivable.
- Etc sur le même principe d'approximer sur chaque intervalle par un polynôme
b) On voudrait une approximation "globale" avec une seule formule et pas différentes formules pour chaque intervalle.
Dans ce cas, il faut clairement se donner un "modèle" de formule.
- On peut par exemple chercher en prenant comme "modèle" les polynômes et là, on a un joli théorème qui dit que, par n points d'abscisse différents, il passe un unique polynôme de degrés inférieur ou égal à n-1.
Par contre, il y a une infinité de polynômes de degrés inférieur ou égal à n passant par les susdit points et une "encore plus grosse" infinité de polynôme de degré quelconque passant par les points en question.
- On peut évidement chercher en prenant un autre "modèle" de fonction : des trucs classiques, c'est par exemple des fractions rationelles (quotient de deux polynômes) ou des fonctions périodique de période donnée, ou bien encore des fonctions exponentielle ou bien... n'importe quoi d'autre...
Bilan : Il y a de toute façon une très très très grosse infinité de solutions et ceci à peu prés quelque soit la façon dont on aborde le problème.
2) Soit c'est plutôt un problème
concret et, dans ce cas, vu les incertitudes (en particulier de mesure) sur les différents points, on ne cherche
jamais une fonction passant
exactement par les points donnés, mais uniquement une fonction passant "pas trop loin" des points.
Dans se cas de figure, ce qu'on fait quasi systématiquement, c'est de se donner au départ une classe de fonction "pas trop grosse"
et qui correspond au modèle physique du problème posé (par exemple les fonctions affines, ou bien de degrè <=2 ou bien des fonction exponentielle, etc... :
tout dépend du phénomène étudié) puis, dans cette "petite" classe de fonction, on cherche celle qui "approxime le mieux" (souvent au sens
des moindres carrés) les points de départ.
Bref, ton problème, il est plutôt dans quelle catégorie ?