Pb tangente parabole et équation second degrés

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Anonyme

pb tangente parabole et équation second degrés

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:23

au secours !!!!!!!! j'ai un petit problème sur un devoir. je suis coincé à
la question 5 b (mais si on peut m'expliquer la 5 a je vous en serez
reconnaissant )
merci d'avance pour l'aide que vous me fournirez
l'énoncé:

(O,i,j) un repère orthonormé. A tout point "M" de coordonnées (x;y) on
associe t² - xt + y =0 (E)

1

a démontrez que x² - 4y >0 équivaut à l'équation (E) a deux racines
distinctes

b tracez dans le repère la parabole P d'équation x²/4 puis représentez
graphiquement l'ensemble des points M pour lesquels (E) a 2 racines
distinctes; a une racine double; n'a pas de racine

2 T est un point de P d'abcisse m. prouvez que la tangente à P en T a pour
équation y= (mx/2) - (m²/4)

3 (question intermédiaire) on se propose de trouver à quelle condition
nécessaire et suffisante, une droite d d'équation y= ax+b avec a différent
de 0, est tangente à P.

a prouvez que si d est tangente à P au point A (x0 ; (x0²/4) ) alors x0 = 2a
et b = - a

b réciproquement, prouvez que la droite d'équation y= ax - a² , a différent
de 0, est tangente à P, équivaut à dire que b= - a². Et dans ce cas, le
point de contact a pour coordonnées (2a; a²)

4 on considère les équations (E1) t² - 5t + 6 =0

et (E2) t² + t - 6 =0

a vérifier que (E1) et (E2) ont une racine commune.

b placez sur la figureles points M1 et M2 associés à (E1) et (E2), démontrez
que la droite (M1M2) est tangente à P.

5 d'une manière plus générale on considère les équations:

(E1) t² + x1 +y1 =0 et (E2) t² - x2t + y2 =0

et on suppose que ces équations ont une racine commune alpha. On note
toujours M1 et M2 les points associés à ces équations. On suppose que M1
différent de M2.

a exprimez y1 en fonction de alpha et x1 et y2 en fonction de alpha et x2

b déduisez que (M1M2) a pour équation y = alpha x - alpha² et qu'elle est
tangente à la prabole P.

6 réciproquement on suppose que les points distincts M1 (x1 ; y1) et M2 (x2
; y2) sont tels que la droite (M1M2) est tangente à P.

les équations (E1) et (E2) ont-elles au moins une racine commune ?

7 est-il possible que (E1) et (E2) aient 2 racines communes lorsque x1
différent de x2 et y1 différent de y2



Anonyme

Re: pb tangente parabole et équation second degrés

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:23

On Tue, 9 Dec 2003 19:41:37 +0100, "Alexandre"
wrote:

>au secours !!!!!!!! j'ai un petit problème sur un devoir. je suis coincé à
>la question 5 b (mais si on peut m'expliquer la 5 a je vous en serez
>reconnaissant )
>merci d'avance pour l'aide que vous me fournirez
>l'énoncé:
>
>(O,i,j) un repère orthonormé. A tout point "M" de coordonnées (x;y) on
>associe t² - xt + y =0 (E)
>
>1
>
>a démontrez que x² - 4y >0 équivaut à l'équation (E) a deux racines
>distinctes
>
>b tracez dans le repère la parabole P d'équation x²/4 puis représentez
>graphiquement l'ensemble des points M pour lesquels (E) a 2 racines
>distinctes; a une racine double; n'a pas de racine
>
>2 T est un point de P d'abcisse m. prouvez que la tangente à P en T a pour
>équation y= (mx/2) - (m²/4)
>
>3 (question intermédiaire) on se propose de trouver à quelle condition
>nécessaire et suffisante, une droite d d'équation y= ax+b avec a différent
>de 0, est tangente à P.
>
>a prouvez que si d est tangente à P au point A (x0 ; (x0²/4) ) alors x0 = 2a
>et b = - a
>
>b réciproquement, prouvez que la droite d'équation y= ax - a² , a différent
>de 0, est tangente à P, équivaut à dire que b= - a². Et dans ce cas, le
>point de contact a pour coordonnées (2a; a²)
>
>4 on considère les équations (E1) t² - 5t + 6 =0
>
>et (E2) t² + t - 6 =0
>
>a vérifier que (E1) et (E2) ont une racine commune.
>
>b placez sur la figureles points M1 et M2 associés à (E1) et (E2), démontrez
>que la droite (M1M2) est tangente à P.
>
>5 d'une manière plus générale on considère les équations:
>
>(E1) t² + x1 +y1 =0 et (E2) t² - x2t + y2 =0


E1 ne serait pas t^2-x1t+y1=0 ?
>et on suppose que ces équations ont une racine commune alpha. On note
>toujours M1 et M2 les points associés à ces équations. On suppose que M1
>différent de M2.
>
>a exprimez y1 en fonction de alpha et x1 et y2 en fonction de alpha et x2

on a : alpha^2-x1*alpha+y1=0 d'où y1
>b déduisez que (M1M2) a pour équation y = alpha x - alpha² et qu'elle est
>tangente à la prabole P.

les relations trouvées pour y1 et y2 montrent que les pts M1 et M2
vérifient l'équation donnée , donc c'est l'équation de M1M2 laquelle
est tangente d'après 3b
>6 réciproquement on suppose que les points distincts M1 (x1 ; y1) et M2 (x2
>; y2) sont tels que la droite (M1M2) est tangente à P.
>
>les équations (E1) et (E2) ont-elles au moins une racine commune ?

oui : tu écris l'équation géné d'une telle tangente (voir 3b) et tu
constateras en écrivant que M1 et M2 sont sur cette tangente que E1 et
E2 ont une sol commune
>7 est-il possible que (E1) et (E2) aient 2 racines communes lorsque x1
>différent de x2 et y1 différent de y2
>

non (par exemple quelle est la formule qui donne la somme des 2
racines d'une équation du second degré ?)
>


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Pichereau Alain

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/

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