Positivité d'un produit scalaire

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai \int_0^1 [(2x-1) x^n (1-x)^k p(x) dx] et j'aimerais en déduire des
conditions sur p pour que l'intégrale soit positive (on a n > k).

J'ai essayé en mettant ça sous la forme:

\int fg

avec f = x-> (2x-1) x^k (1-x)^k
et g = x -> x^(n-k) p(x)

f est donc antisymétrique par rapport à 1/2. Mais en fait, ça ne m'a pas
beaucoup avancé.

J'ai réussi à trouver une condition suffisante mais bien plus forte
qu'une nécessaire qui est que pour tout x dans [0,1/2], on doit avoir
p(1-x) >= [x/(1-x)]^(n-k) p(x)

Mais j'aimerais bien trouver une CNS si possible.

Merci beaucoup.

--
Nicolas