Norme

[Anonyme]

Bonjour

Soit [a,b] un segment de IR. Notons C([a,b] , IR) le IR-e.v.
des fonctions bornées de [a,b] dans IR muni de la norme
de la convergence uniforme (la norme infinie) notée || . ||

Alors j'ai découvert que pour toutes f et g dans C([a,b] , IR)
on a || f . g || <= || f || . || g ||

C'est bizarre non ? Ca ressemble un peu à l'inégalité de
Cauchy Schwarz


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

> Soit [a,b] un segment de IR. Notons C([a,b] , IR) le IR-e.v.
> des fonctions bornées de [a,b] dans IR muni de la norme
> de la convergence uniforme (la norme infinie) notée || . ||
>
> Alors j'ai découvert que pour toutes f et g dans C([a,b] , IR)
> on a || f . g ||
> C'est bizarre non ? Ca ressemble un peu à l'inégalité de
> Cauchy Schwarz


Non c'est normal.
Ca marche aussi avec la norme subordonnée pour les applications linéaires
continues entre espaces vectoriels normés.
On a une définition: une algèbre normée est une algèbre avec une norme N
telle que N(1)=1 et N(xy)=<N(x)N(y). On vient d'en voir deux exemples.
C'est intéressant car si par hasard elle est complète, la série des x^n/n!
converge, d'où une définition d'exponentielle.

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi a écrit
> Non c'est normal.

Effectivement. Je viens de m'apercevoir que l'application
(f,g) ---> (f | g) = sup | f(x) g(x) | pour x parcourant [a, b]
est un produit scalaire.

Et la norme euclidienne associée || f || = (f | f) ^(1/2)
n'est autre que la norme de la convergence uniforme

non ?

> Ca marche aussi avec la norme subordonnée pour les applications linéaires
> continues entre espaces vectoriels normés.
> On a une définition: une algèbre normée est une algèbre avec une norme N
> telle que N(1)=1 et N(xy)= C'est intéressant car si par hasard elle est complète, la série des x^n/n!
> converge, d'où une définition d'exponentielle.

Ah oui ? Intéressant

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit
> Effectivement. Je viens de m'apercevoir que l'application
> (f,g) ---> (f | g) = sup | f(x) g(x) | pour x parcourant [a, b]
> est un produit scalaire.

ben non elle n'est pas bilinéaire

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr