Matrice tridiagonale

[Anonyme]

Bonjour,

Soit A une matrice tridiagonale symétrique avec :
1+2*gamma sur la diagonale ( gamma réel strictement positif )
-gamma sur les 2 sous-diagonales

On me demande de montrer que cette matrice est définie positive. J'ai la
réponse en développant le produit scalaire (Ax,x), mais la démonstration est
relativement longue.
Compte tenu du type de matrice n'y a-t-il pas une façon plus concise de le
montrer.

Merci d'avance,
Thierry

[Anonyme]

thierry.grosse a écrit :
> Bonjour,
>
> Soit A une matrice tridiagonale symétrique avec :
> 1+2*gamma sur la diagonale ( gamma réel strictement positif )
> -gamma sur les 2 sous-diagonales
>
> On me demande de montrer que cette matrice est définie positive. J'ai la
> réponse en développant le produit scalaire (Ax,x), mais la démonstration est
> relativement longue.
> Compte tenu du type de matrice n'y a-t-il pas une façon plus concise de le
> montrer.
>
> Merci d'avance,
> Thierry
>
>
Bonjour

Quel est ton niveau ? spé, maîtrise ?

Si tu es en spé, on peut faire une simple vérification du fait que A est
définie positive :
A=I+lambda B, avec lambda>0 et B=diag(-1,2,-1), avec des notations évidentes
Donc si x est un vecteur colonne, alors (Ax,x)=(x,x)+lambda(Bx,x)
Il suffit de montrer que B est positive. Or si x=(x1,...,xn), alors
(Bx,x)=2x1^2-2x1.x2+2x2^2-2x2.x3+2x3^2+...
Il est facile de simplifier ceci en :
(Bx,x)=x1^2+(x1-x2)^2+...+(x(n-1)-xn)^2+xn^2, qui est bien évidemment
positif
ça ne me paraît pas trop long comme démo...

Si tu es en maîtrise ou DEA, on peut interpréter la matrice A comme
celle de la forme quadratique associée à l'opérateur
T : u -> -lambda u''+u, défini sur un espace d'éléments finis bien choisi...
ce qui est utile pour résoudre (numériquement) le problème aux limites
-lambda u''+u=f

[Anonyme]

Dans le message news:428bad74$0$11698$8fcfb975@news.wanadoo.fr,
thierry.grosse a écrit:
> Bonjour,
>
> Soit A une matrice tridiagonale symétrique avec :
> 1+2*gamma sur la diagonale ( gamma réel strictement positif )
> -gamma sur les 2 sous-diagonales
>
> On me demande de montrer que cette matrice est définie positive. J'ai
> la réponse en développant le produit scalaire (Ax,x), mais la
> démonstration est relativement longue.
> Compte tenu du type de matrice n'y a-t-il pas une façon plus concise
> de le montrer.

Une méthode parmi d'autres:
Si j'appelle D_k le déterminant de la sous-matrice principale d'ordre k
(les k premières lignes et colonnes), "A définie positive" est
équivalent à "tous les D_k positifs (strict)".
On trouve, en exprimant le déterminant à partir des deux premiers termes
de la première ligne, une relation de récurrence, pour k >1 :
D_k = (1+2g) D_(k-1) -g² D_(k-2) [je note g pour gamma].
En la mettant sous la forme:
D_k - g D_(k-1) = D_(k-1) + g [D_(k-1) - g D_(k-2)]
et compte tenu que
D_1 = 1 + 2g >0 ,
D_2 = (1+2g)² -g² (>0 mais ce n'est pas indispensable de le
vérifier), et
D_2 - g D_1 = 1 + 3g + g² qui est >0 puisque g >0,
on conclut D_k - g D_(k-1) >0 donc D_k > g D_(k-1) >0 cqfd

C'est une récurrence un peu particulière (deux conditions à regarder),
on doit pouvoir le faire plus siouxement en trouvant a tel que:
D_k - a D_(k-1) = (1+2g-a) [D_(k-1) - a D_(k-2)]
et en montrant que cela implique D_k >0

(tout cela sauf erreur...)
--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Le Wed, 18 May 2005 23:02:48 +0200
thierry.grosse a écrit
>Bonjour,
>
>Soit A une matrice tridiagonale symétrique avec :
> 1+2*gamma sur la diagonale ( gamma réel strictement positif )
> -gamma sur les 2 sous-diagonales
>
>On me demande de montrer que cette matrice est définie positive. J'ai la
>réponse en développant le produit scalaire (Ax,x), mais la démonstration est
>relativement longue.
>Compte tenu du type de matrice n'y a-t-il pas une façon plus concise de le
>montrer.
>
>Merci d'avance,
>Thierry
>

http://michel.quercia.free.fr/bilin/fquad.pdf

Regarde les exos 12 et 13...

En fait une matrice à diagonale strictement dominante est toujours
définie positive.



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...