J'implore votre aide!!

[Anonyme]

Chers amis!
Je vous soumets ce problème qui me donne beaucoup de fil à retordre depuis
pas mal de temps.
Merci d'avance à la bonne âme qui saura m'éclairer!

On désigne par F1 l'espace vectoriel complexe des applications du corps des
nombres réels R dans le corps des nombres complexes C et par F2 l'espace
vectoriel complexe des applications de R² dans C.
Etant donné un élément (f,a) de F2 x R, on note f(a,.) (respectivement
f(.,a)) l'élément de F1: x -> f(a,x) (respectivement x -> f(x,a)).
Etant donné un élément f de F2, on désigne par D(f) (resp. G(f)) le
sous-espace vectoriel de F1 engendré par la famille génératrice (f(a,.) a
élément de R) (resp. (f(.,a) a élément de R)).

1ère question:
Soit f de F2. Montrer que D(f) et G(f) ont une dimension commune, finie ou
infinie, que l'on notera r(f), rang de f. Montrer que r(f)=0 caractérise la
fonction nulle.

2ème question:
soit f de F2 et (p,q) de C². On définit alors g de F2 par g(x,y) =
exp(px+qy) * f(x,y). Montrer que r(g) = r(f)

3ème question:
Soit P une fonction polynomiale non nulle de degré n et f de F2 définie par
f(x,y) = P(x+y). Que vaut alors r(f)?

Il y a d'autres questions ensuite mais j'espère pouvoir utiliser le résultat
des 3 premières pour me débrouiller seul...

Merci encore!!!!!