Fonctions inverses hyperboliques: dérivées

[Anonyme]

Bonjour

je cherche à calculer la dérivée de fonctions inverses des fonctions
hyperboliques en utilisant le théorême suivant:

si f est une fonction bijective de [a,b] sur [c,d] alors:
(f^-1(x))'=1/f'(y) avec y=f^-1(x)


Mon problème vient de Argsh(x).

Dans ce cas, Argsh(x)'=1/ch(y) et x=sh(y).

En partant de x=sh(y) et en utilisant les exponentielles, on a :
x=0,5 (exp(y)-exp(-y)), je pose donc Y=exp(y) et j'obtiens:
2xY+1-Y²=0

donc il y a 2 solutions: Y=x-sqrt(1+x²) ou Y=x+sqrt(1+x²)

sachant Y>0 on a donc Y=x+sqrt(1+x²)=exp(y)

donc y=ln(x+sqrt(1+x²))

je revois ce résultat dans 1/ch(y), utilise la définition de ch pour
avoir:

Argsh(x)'=2/[x+sqrt(1+x²)+1/(x+sqrt(1+x²))] et bloque complètement
sur ce calcul!!!!!


Je finis avec:

Argsh(x)'=[x+sqrt(1+x²)]/[1+x(x+sqrt(1+x²))] que je ne sais plus
simplifier...

Quelqu'un peut-il aider ?



Merci, Brice

[Anonyme]

Brice a écrit :
> Bonjour
>
> je cherche à calculer la dérivée de fonctions inverses des fonctions
> hyperboliques en utilisant le théorême suivant:
>
> si f est une fonction bijective de [a,b] sur [c,d] alors:
> (f^-1(x))'=1/f'(y) avec y=f^-1(x)
>

Bonjour,
sh est continue strictement croissante sur R et réalise ainsi une
bijection de R sur R. La dérivée de sh (ch) ne s'annule jamais sur R.
On peut alors appliquer ta formule
argsh'(x)=1/ch(argsh(x)) Bien analyser ce qu'est f et f^-1. Ici f=sh.
f'=ch et f^-1=argsh
Pour calculer ch(argsh(x))... Pour tt u de R, ch²(u)-sh²(u)=1
ch²(u)=1+sh²(u) => (car ch est toujours positif) ch(u)=sqrt(1+sh²(u))
soit avec u=argsh(x)....
On trouve donc argsh'(x)=1/sqrt(1+x²)

--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

Stéphane Saje wrote in message news:...
> Brice a écrit :[color=green]
> > Bonjour
> >
> > je cherche à calculer la dérivée de fonctions inverses des fonctions
> > hyperboliques en utilisant le théorême suivant:
> >
> > si f est une fonction bijective de [a,b] sur [c,d] alors:
> > (f^-1(x))'=1/f'(y) avec y=f^-1(x)
> >
>
> Bonjour,
> sh est continue strictement croissante sur R et réalise ainsi une
> bijection de R sur R. La dérivée de sh (ch) ne s'annule jamais sur R.
> On peut alors appliquer ta formule
> argsh'(x)=1/ch(argsh(x)) Bien analyser ce qu'est f et f^-1. Ici f=sh.
> f'=ch et f^-1=argsh
> Pour calculer ch(argsh(x))... Pour tt u de R, ch²(u)-sh²(u)=1
> ch²(u)=1+sh²(u) => (car ch est toujours positif) ch(u)=sqrt(1+sh²(u))
> soit avec u=argsh(x)....
> On trouve donc argsh'(x)=1/sqrt(1+x²)[/color]

bonjour

ta technique marche tout comme le fait d'utiliser le log népérien pour
exprimer argsh! ce que j'aimerais c'est arriver au résultat en
utilisant la méthode que j'ai dérivé et donc arriver à faire cette
simplification très chiante! le but est d'arriver au bout de ce
calcul, pas forcément d'aller au plus simple...
un peu bizarre je l'avoue mais plus intéressant!

Brice

[Anonyme]

"Brice" a écrit dans le message news:
13172c7.0410210030.33c03049@posting.google.com...

[snip]

> ce que j'aimerais c'est arriver au résultat en
> utilisant la méthode que j'ai dérivé et donc arriver à faire cette
> simplification très chiante! le but est d'arriver au bout de ce
> calcul, pas forcément d'aller au plus simple...
> un peu bizarre je l'avoue mais plus intéressant!

Toujours la même méthode depuis la 4e, mets ton dénom. sous la forme a +
sqrt(b) et multiplie num. et dénom. par la quantité conjuguée a - sqrt(b)
pour éliminer la radical au dénom.

Ca marche (pour simplifier j'ai poser y = 1 + x², sinon c'est vraiment trop
lourd).

Et revois tes cours de collège !



Hib.

> Brice

[Anonyme]

Brice a écrit :
> Stéphane Saje wrote in message news:...
>[color=green]
>>Brice a écrit :
>>[color=darkred]
>>>Bonjour
>>>
>>>je cherche à calculer la dérivée de fonctions inverses des fonctions
>>>hyperboliques en utilisant le théorême suivant:
>>>
>>>si f est une fonction bijective de [a,b] sur [c,d] alors:
>>>(f^-1(x))'=1/f'(y) avec y=f^-1(x)
>>>
>>
>>Bonjour,
>>sh est continue strictement croissante sur R et réalise ainsi une
>>bijection de R sur R. La dérivée de sh (ch) ne s'annule jamais sur R.
>>On peut alors appliquer ta formule
>>argsh'(x)=1/ch(argsh(x)) Bien analyser ce qu'est f et f^-1. Ici f=sh.
>>f'=ch et f^-1=argsh
>>Pour calculer ch(argsh(x))... Pour tt u de R, ch²(u)-sh²(u)=1
>>ch²(u)=1+sh²(u) => (car ch est toujours positif) ch(u)=sqrt(1+sh²(u))
>>soit avec u=argsh(x)....
>>On trouve donc argsh'(x)=1/sqrt(1+x²)[/color]
>
>
> bonjour
>
> ta technique marche tout comme le fait d'utiliser le log népérien pour
> exprimer argsh! ce que j'aimerais c'est arriver au résultat en
> utilisant la méthode que j'ai dérivé et donc arriver à faire cette
> simplification très chiante! le but est d'arriver au bout de ce
> calcul, pas forcément d'aller au plus simple...
> un peu bizarre je l'avoue mais plus intéressant![/color]
Bonjour,
Pour ta méthode voir le post précédent de Hybernatus. Mais vraiment je
ne trouve pas cette méthode plus intéressante car trop calculatoire. Je
trouve celle que je t'ai donné nettement plus jolie. Affaire de gout.
Cordialement,
--
Stéphane Saje
http://perso.wanadoo.fr/stephane.saje/

[Anonyme]

"Hibernatus" wrote in message news:...
> "Brice" a écrit dans le message news:
> 13172c7.0410210030.33c03049@posting.google.com...
>
> [snip]
>[color=green]
> > ce que j'aimerais c'est arriver au résultat en
> > utilisant la méthode que j'ai dérivé et donc arriver à faire cette
> > simplification très chiante! le but est d'arriver au bout de ce
> > calcul, pas forcément d'aller au plus simple...
> > un peu bizarre je l'avoue mais plus intéressant!
>
> Toujours la même méthode depuis la 4e, mets ton dénom. sous la forme a +
> sqrt(b) et multiplie num. et dénom. par la quantité conjuguée a - sqrt(b)
> pour éliminer la radical au dénom.
>
> Ca marche (pour simplifier j'ai poser y = 1 + x², sinon c'est vraiment trop
> lourd).
>
> Et revois tes cours de collège ![/color]

j'y penserai un de ces quatre.... franchement ce genre d'allégations
je m'en passe volontiers!

>
>
>
> Hib.
>[color=green]
> > Brice[/color]

[Anonyme]

"Brice" a écrit dans le message news:
13172c7.0410220628.2ea1e32b@posting.google.com...
> "Hibernatus" wrote in message
news:...[color=green]
> > "Brice" a écrit dans le message news:
> > 13172c7.0410210030.33c03049@posting.google.com...
> >
> > Et revois tes cours de collège !
>
> j'y penserai un de ces quatre.... franchement ce genre d'allégations
> je m'en passe volontiers![/color]

Bien, ça m'apprendra (décidemment). Donc oublie l'insinuation.

Je n'en ferai plus qu'aux gens qui mentionneront expressément "insinuations
autorisées", les autres iront se faire voir ailleurs avec les lacunes qu'ils
n'assument pas.

Et ne dis pas merci.
[color=green]
> >
> >
> > Hib.
> >[color=darkred]
> > > Brice[/color][/color]