Le Thu, 20 Nov 2003 23:19:02 +0000 (UTC),
My full name grava à la saucisse et au marteau:
> pourriez-vous me conseiller un (ou pls) site(s) qui me permettrait de
> comprendre les concepts suivants:
> - dérivées partielles
> - et dérivées "normales" si ce concept est nécessaire à la compréhension
> du précédent 
Bon, j'ai un peu de temps, je vais tenter de t'expliquer en essayant
d'être clair.
On va commencer par la dérivée "normale" comme tu dis. L'idée, c'est que
tu as une fonction f qui dépend d'une variable x (je vais supposer que
tu sais ce qu'est une fonction). On cherche à savoir de combien va
varier f quand on fait bouger un peu x. Le rapport entre le déplacement
de la valeur de f et le déplacement de la valeur de x s'appelle la
dérivée de f par rapport à x.
Prenons un premier exemple à la con: f(x) est la distance en kilomètres
parcourue par une voiture pendant un temps x en heures. Imaginons que la
voiture aille à 100 km/h. Alors le déplacement en km va valoir 100 fois
le "déplacement" en heures. Bon, là, c'est vraiment trop facile parce
que la dérivée dépend pas de là où on en est. Donc on va prendre un
exemple un peu plus complexe.
On va supposer que la voiture accélère et freine tout le temps. Donc,
selon le moment qu'on va considérer, le rapport entre le déplacement
efefctué et le temps mis pour l'effectuer va varier. Donc la dérivée est
également une fonction qui dépend du temps.
Tu ne veux pas entendre parler de limite mais je vais en parler un peu
quand même, na. La question est: comment fait-on pour savoir quel est le
rapport entre le déplacement effectué et le "déplacement" de temps à un
temps t fixé. Bah on va regarder la distance parcourue entre les temps
t-0.2 heure et t+0.2 heure et on divise par la taille du déplacement
(c'est-à-dire 0.4 heure dans cet exemple). Puis comme c'est pas très
précis, on va réduire l'intervalle de temps sur lequel on regarde le
déplacement de la voiture. On va même le réduire jusqu'à ce qu'il
devienne toupitipiti et on va regarder la limite de ce rapport lorsque
l'intervalle de temps choisi tend vers 0.
Un deuxième exemple avec la fonction f telle que f(x) = x^2
Si jamais tu as tracé la courbe représentative de cette fonction, tu te
rends compte que pour un même petit déplacement de x (c'est-à-dire le
long de l'axe horizontal), le déplacement de f(x) est de plus en plus
grand (la différence su l'axe des ordonnées). Pour vérifier cela, on va
calculer la dérivée en un point x0 quelconque. Comme intervalle de 0.4
heure dans l'exemple d'avant, on va dire que la taille de l'intervalle
est h. Alors, on se fout un peu de l'intervalle de taille h qu'on
choisit, l'essentiel étant que quand h deviendra tout petit, on aura
toujours notre point x0 dans l'intervalle choisi.
x va se déplacer entre x0 et x0+h (comme je l'ai dit, il aurait pu se
balader entre x0 - h/2 et x0 + h/2, on s'en fout tant que x0 est dedans
et reste dedans quel que soit h). Quand x se déplace entre x0 et x0+h,
f(x) va se déplacer entre f(x0) et f(x0+h). Jusque-là, rien que de très
normal. Comme on veut le rapport entre les 2 déplacements, on calcule
(f(x0+h) - f(x0))/(x0+h - x0). Puis on va calculer combien vaut ce
rapport quand h devient tout petit. On trouve que ça vaut 2x0. C'est à
dire que quand on se trouve au point x0 et que x bouge un peu, le
déplacement de f(x) va valoir 2x0 que le déplacement de x. Par exemple,
au point 3, on aura f(3 + unpitipeu) = f(3) + 2*3*unpitipeu
En gros, c'est ça. La définition du unpitipeu est pas très rigoureuse.
En fait, on n'a pas l'égalité entre les deux membres, mais on sait que
plus le pitipeu est petit, plus les deux membres sont proches.
Voilà, ça c'était pour la dérivée normale.
La dérivée partielle sert pour les fonctions de plusieurs variables.
Imaginons qu'une fonction dépende d'un paramètre x et d'un paramètre y.
La dérivée partielle de f par rapport à x correspond au rapport entre le
déplacement de f(x,y) et le déplacement de x, QUAND Y NE BOUGE PAS. De
même pour la dérivée partielle de f par rapport à y.
Ensuite, pour connaître le déplacement total de f quand x et y bougent
un peu, tu dis que c'est la dérivée partielle de f par rapport à x
multipliée par le déplacement de x à laquelle tu additionnes la dérivée
partielle de f par rapport à y multipliée par le déplacement de y. Ca,
ça marche parce que j'ai dit que la dérivée partielle par rapport à un
paramètre se calculait quand l'autre paramètre ne bougeait pas, et on
suppose que sur un petit déplacement, le paramètre en question ne bouge
"pas trop". Ce que je dis n'a rien de mathématique, mais c'est l'idée.
> - quand on les utilise (leur utilité)Donc on les utilise quand on veut savoir quelle est la vitesse de
variation (ou le sens de variation) d'une fonction. En effet, si la
dérivée est positive, ça veut dire que le déplacement de la fonction est
dans le même sens que le déplacement de la variable (on dit que la
fonction est croissante). Si elle est négative, ça veut dire que le
déplacement de la fonction est dans le sens inverse que celui de la
variable (on dit que la fonction est décroissante). Enfin, lorsqu'une
fonction atteint son maximum (ou son minimum), on "voit bien" qu'à cet
endroit, pour un déplacement très petit de la variable, la valeur de la
fonction ne varie pas, c'est-à-dire que la dérivée est nulle. Donc quand
tu cherches un extremum, tu cherches les endroits où la dérivée est
nulle.
> - comment les utiliser (je dois entre-autre comprendre des démonstrations
> qui font appels à ces concepts)Euh, là, j'ai pas compris :la question
J'espère avoir été suffisamment clair. Tout ce que j'ai dit est du
bricolage pour expliquer l'intuition derrière. Si tu veux un formalisme
mathématique plus poussé, il doit y avoir plein de sites de cours qui
font ça.
--
Nicolas
