Fibré principal

[Anonyme]

En lisant ce cours :

http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/sourceforhtml.html

une question me vient. Il est indiqué dans le chapitre sur les fibrés
principaux, que si un fibré principal (P,M,\pi) admet une section globale
alors il est trivial.On cite par exemple la fibration de Hopf comme fibré
non trivial puisque S^3 n'est pas homéomorphe à S^2 x S^1.
Ca ne me paraît pourtant pas très clair. Pour moi la définition d'une
section globale était une application qui se projete sur l'identité, et je
ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas considérer une section globale sur
le fibré de Hopf (en prenant pour chaque point de S^2 un élément quelconque
de la fibre).
Apparemment le fait que le fibré soit principal implique que les
sections doivent vérifier des propriétés supplémentaires (différentiabilité
? continuité ?), mais je ne vois pas pourquoi. La définition ne parle en
effet pas de sections. Est-ce le fait qu'on ait un groupe de Lie agissant
sur P, ou alors le fait que le fibré est localement trivial ?
Je n'arrive pas à trouver quelles propriétés doit vérifier une section
dans ce cadre. Merci de m'éclairer.

--
Zoth

[Anonyme]

> une question me vient. Il est indiqué dans le chapitre sur les fibrés
> principaux, que si un fibré principal (P,M,\pi) admet une section globale
> alors il est trivial.On cite par exemple la fibration de Hopf comme fibré
> non trivial puisque S^3 n'est pas homéomorphe à S^2 x S^1.
> Ca ne me paraît pourtant pas très clair. Pour moi la définition d'une
> section globale était une application qui se projete sur l'identité,

Les sections sont toujours supposées continues! (indépendamment du fait
que ton fibré soit principal)... parfois, suivant le contexte, on veut
aussi qu'elles soient différentiables.

L'existence d'une section globale te définit de façon évidente un
isomorphisme avec le fibré trivial: ceci par contre utilise le fait que
ton fibré est principal, sinon, c'est complétement faux.

--
Yves

[Anonyme]

> Les sections sont toujours supposées continues! (indépendamment du fait
> que ton fibré soit principal)... parfois, suivant le contexte, on veut
> aussi qu'elles soient différentiables.

Ok. Du coup tout le reste découle évidemment.
Mais je n'ai jamais vu dans les définitions des sections cette hypothèse
de continuité.
Ex : http://www.math.columbia.edu/%7Ewoit/notes13.pdf
ou pire http://minilien.com/?PiwyqFY0rB où l'auteur insiste bien sur le
fait qu'on ne suppose rien de plus sur sigma dans le cas général.

Je serais intéressé par un lien où les définitions sont plus
rigoureuses.

--
Nico

[Anonyme]

> Mais je n'ai jamais vu dans les définitions des sections cette hypothèse
> de continuité.

> Ex : http://www.math.columbia.edu/%7Ewoit/notes13.pdf

Dans ce papier, ils parlent de groupes de Lie et de variétés, donc toutes
les applications sont supposées C^infini, je suppose.

> ou pire http://minilien.com/?PiwyqFY0rB où l'auteur insiste bien sur le
> fait qu'on ne suppose rien de plus sur sigma dans le cas général.

Ben, là ils ne travaillent pas toujours avec des espaces topologiques,
donc ils parlent bien de section non continues... mais ils n'en déduisent
rien de faux (ils ne parlent pas le la notion de "fibré trivial", etc).

--
Yves