Expressions symétriques

[Anonyme]

Je cherche à justifier le raisonnement suivant :

Si f(x,y,z) = 0
et f(y,z,x) = 0
et f(z,x,y) = 0,
alors, la symétrie de ces expressions implique
x = y = z

Merci d'avance à qui pourra m'aider...
---
jcp

[Anonyme]

> Je cherche à justifier le raisonnement suivant :
>
> Si f(x,y,z) = 0
> et f(y,z,x) = 0
> et f(z,x,y) = 0,
> alors, la symétrie de ces expressions implique
> x = y = z

Je ne pense pas qu'il soit vrai :

prends x=1 y=2 et z=3, il suffit d'avoir une fonction f s'annulant sur les
trois points (1,2,3), (2,3,1) et (3,1,2), ce qui est possible, pour avoir un
contre-exemple.

[Anonyme]

Jean-Claude Poujade wrote:
> Je cherche à justifier le raisonnement suivant :
> Si f(x,y,z) = 0
> et f(y,z,x) = 0
> et f(z,x,y) = 0,
> alors, la symétrie de ces expressions implique
> x = y = z


le raisonnement n'est pas vrai
comme le montre f(x,y,z)=x^2 + y^2 +z^2 -1

[Anonyme]

Jean-Claude Poujade wrote:
> Je cherche à justifier le raisonnement suivant :
>
> Si f(x,y,z) = 0
> et f(y,z,x) = 0
> et f(z,x,y) = 0,
> alors, la symétrie de ces expressions implique
> x = y = z
>
> Merci d'avance à qui pourra m'aider...

Contre-exemple:

Soit la fonction f telle que pour tout x, y, f(x,y,z)=0

on a alors:
f (1, 2, 3) = 0
f (2, 1, 3) = 0
f (3, 2, 1) = 0

or 1 différent de 2 différent de 3.
CQFR

--
Marc.

[Anonyme]

> Soit la fonction f telle que pour tout x, y,

Faute de frappe, il manque "z" .

> f(x,y,z)=0

--
Marc, mea culpa.

[Anonyme]

Marc Lasson , dans le message (fr.education.entraide.maths:47850), a
écrit :
> CQFR

Ce Qu'il Fallait Réfuter ?

[Anonyme]

Jean-Claude Poujade a écrit
> Si f(x,y,z) = 0
> et f(y,z,x) = 0
> et f(z,x,y) = 0,
> alors, la symétrie de ces expressions implique
> x = y = z

Cela me paraît vrai si on ajoute que f est injective
ou bien une forme linéaire sur R³.

Si f est injective c'est évident.

Si f est une application linéaire :
f(x,y,z) = 0 ==> (x,y,z) est dans Ker(f)
f(y,z,x) = 0 ==> (x,y,z) est dans Ker(f)
f(z,x,y) = 0 ==> (x,y,z) est dans Ker(f)

De plus (x, y, z) (x, x, x) ==>
{(x, y, z) , (y, z, x) , (z, x, y)} est libre
(?? je crois mais à vérifier ...)

Donc dim Ker(f) = 3 d'où f = 0 ce qui est
contraire aux hypothèses d'où x = y = z.

Sauf erreur

Pierre

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" wrote in message news:...
> Jean-Claude Poujade a écrit[color=green]
> > Si f(x,y,z) = 0
> > et f(y,z,x) = 0
> > et f(z,x,y) = 0,
> > alors, la symétrie de ces expressions implique
> > x = y = z
>
> Cela me paraît vrai si on ajoute que f est injective
> ou bien une forme linéaire sur R³.
>
> Si f est injective c'est évident.
>
> Si f est une application linéaire :
> f(x,y,z) = 0 ==> (x,y,z) est dans Ker(f)
> f(y,z,x) = 0 ==> (x,y,z) est dans Ker(f)
> f(z,x,y) = 0 ==> (x,y,z) est dans Ker(f)
>
> De plus (x, y, z) (x, x, x) ==>
> {(x, y, z) , (y, z, x) , (z, x, y)} est libre
> (?? je crois mais à vérifier ...)
>
> Donc dim Ker(f) = 3 d'où f = 0 ce qui est
> contraire aux hypothèses d'où x = y = z.
>
> Sauf erreur
>
> Pierre[/color]

Quid si f n'est ni linéaire ni injective?
Exemple à deux dimensions:
f(x,y) = (x-1)^2 + (y-2)^2 - 4
Il est "manifeste" que les deux cercles f(x,y)=0 et f(y,x)=0
vont se couper sur y=x
Etant un peu fatigué, je ne vois pas comment le prouver...
---
jcp

[Anonyme]

Jean-Claude Poujade a écrit
> Exemple à deux dimensions:
> f(x,y) = (x-1)^2 + (y-2)^2 - 4
> Il est "manifeste" que les deux cercles f(x,y)=0 et f(y,x)=0
> vont se couper sur y=x

C'est vrai, pour le montrer je le présenterais ainsi :
soit f : R² --> R telle que f(x,y) = (x-1)^2 + (y-2)^2 - 4

Alors l'équation f(x, y) = 0 est l'équation d'un cercle (C)

Posons maintenant g(x,y) = (y-1)^2 + (x-2)^2 - 4
alors g(x, y) = 0 est l'équation d'un autre cercle (C').

Les cercles (C) et (C') sont symétriques par rapport à
la première bissectrice car si M = (a,b) est un point de
(C) on a f(a, b) = 0 donc g(b, a) = 0, ce qui prouve que
le point M' = (b, a), symétrique de M est sur le est sur (C')

(C') et (C') se coupent donc sur la première bissectrice
ce qui prouve que
f(x, y) = 0 et f(y, x) = 0 => x = y
__________________

Je ne crois cependant pas que ce résultat se généralise.

Soit en effet une fonction f de R ³ dans R.

Posons :
g : R³ --> R , telle que g(x, y, z) = f(y, z, x)
h : R³ --> R , telle que h(x, y, z) = f(z, x, y)

Notons :
C_f l'ensemble des points de R³ tel que f(x, y, z) = 0
C_g l'ensemble des points de R³ tel que g(x, y, z) = 0
C_h l'ensemble des points de R³ tel que h(x, y, z) = 0

On supposera que C_f , C_g et C_h sont des courbes
de R³ (ce qui n'est pas évident a priori).

Soit M = (a, b, c) un point de C_f.
On a donc f(a, b, c) = 0.
Donc g(b, c, a) = 0
Donc le point M' = (b, c, a) est dans C_g.

L'ensemble C_g est donc obtenu à partir de C_f par une
transformation qui est une rotation d'axe OA, avec
A = (1, 1, 1) , et d'angle 2*pi/3 (sous toute réserve).

De même C_h est obtenu à partir de C_f par une
rotation de même axe OA et d'angle 2*pi/3.

Par conséquent l'ensemble des points tels que
f(x, y, z) = 0 et g(x, y, z) = 0 et h(x, y, z) = 0
c'est à dire tels que f(x, y, z) = f(y, z, x) = f(z, x, y) = 0
est l'intersection des ensembles C_f , C_g et C_h.

Or cette intersection n'est pas nécessairement sur la droite
d'équation x = y = z. Il suffit par exemple de choisir f telle
que C_f soit le triangle de sommets (1, 0, 0) , (0, 1, 0) et
(0, 0, 1).

[Anonyme]

Pardon :
> De même C_h est obtenu à partir de C_f par une
> rotation de même axe OA et d'angle 4*pi/3

(et pas 2*pi/3).