SM : exo (int. curvilignes, double)

[Anonyme]

salut, un exo et quelques questions :


soit w = [-arctan(x+y) + x/(1+(x²+y²))]dx + [x/(1+(x²+y²))]dy



1) résoudre l'équation diff suivante :

xy' + 2y = 0

je trouve y(x) = C/x² avec C constante positive

1) déterminer si w est une forme exacte, si w n'est pas exacte,
déterminer un fonction f(x) telle que f(x)*w soit exacte.


je pose P(x,y) = -arctan(x+y) + x/(1+(x²+y²))]
Q(x,y) = [x/(1+(x²+y²))]

alors w est exacte dQ/dx = dP/dy
donc après calculs, w n'est pas exacte..

d(f(x)*P)/dy = d(f(x)*Q)/dx car f(x)*w est exacte.

après calcul, j'obtient :

-2*f*(x+y)² - x*f' = 0

ce qui ressemble à l'équation diff qu'on m'a fait résoudre en 1/ mais
avec le (x+y)² en plus... j'ai refait mes calculs et je trouve toujours
ça....

donc je continue et trouve :

f(x) = exp(x(4-x))/(x^(2y²))


3) Soient trois points du plan O(0,0), A(1,0) et B(1,1), on appelle L
le chemin partant de 0 vers A puis vers B puis vers 0 en suivant les
segments [0A],[AB] et [B0]. et T la partie de plan délimitée par le
triangle 0AB intérieure a ce triangle.

calculer l'intégrale curviligne de w sur L.

alors là je dis que c'est la somme des intégrales sur chacun des
segments
[0A] : x(t) = t, y(t) = 0
[AB] : x(t) = 0, y(t) = t
[B0] : x(t) = -t, y(t) = -t

donc :
comme int(w,L) = int((P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)),L)

int(w,L) = int(P(t,0)*1+Q(t,0)*0,OA) + int(Q(0,t),AB) +
int(-P(-t,-t),-Q(-t,-t),OB)

je remplace les P et Q, en remplaçant les x et y par t ou 0 selon le
cas...
mais j'ai du mal avec les bornes d'intégrations... est-ce entre 0 et
1,ou bien entre 0 et 1 puis 1 et 2 puis 2 et 0 ?

4) calculer J = int(2dxdy/(1+(x+y)²)) sur T

comparer ce résultat avec l'intégrale curviligne de w sur L et
commenter...

j'ai J = 2*int((arctan(2x)-arctan(x))dx,0,1) ensuite j'me souviens plus
comment intégrer arctan !

bref... merci a celui qui peut me filer un coup de pouce

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com

[Anonyme]

Nicolas Aunai a écrit :


> d(f(x)*P)/dy = d(f(x)*Q)/dx car f(x)*w est exacte.
>
> après calcul, j'obtient :


[...] après re-calcul j'obtient bien 2f(x) + f'(x)x = 0 ouf.



la suite reste obscure...

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com