Implication double (le retour)

[Anonyme]

Bonsoir à toutes et à tous,

On a (du moins ceux de la classe que ça intéresse) un petit travail à faire
en maths pour la rentrée ; pas bien méchant : il s'agit de démontrer une
proposition du genre :
P Q (P si et seulement si Q).

En ce qui me concerne, le problème vient surtout du "si et seulement si".

Je suppose que démontrer "PQ" revient à démontrer :
1) Si P, alors Q
2) Si Q, alors P
faisant de P (et, par réciprocité, de Q aussi, je suppose) une condition
"suffisante et nécessaire".

Mais, en l'occurrence, ça m'arrangerait bien qu'on puisse aussi démontrer
PQ en démontrant :
1) Si P, alors Q (P est condition suffisante)
2) Si non-P, alors non-Q (P devenant alors, selon moi (?!?) une condition
nécessaire pour que Q soit vrai, puisque non-P implique non-Q. Est-ce que
j'ai raison ou pas ?)

Concrètement, il s'agit de démontrer que :
"l'équation diophantienne a*x + b*y = c ( avec : a [différent de 0], b
[différent de 0], c, entiers) admet au moins une solution si et seulement si
le plus grand diviseur de a et b divise c".

Et je pense y être arrivé en démontrant que :
1) Si pgcd(a,b) divise c, alors il existe une solution
2) Si pgdc(a,b) ne divise pas c, il n'existe pas de solution

Maintenant, la question est : suis-je bien arrivé au bout de mes peines, ou
bien le "2)" de ma démonstration ne convient pas et doit être
obligatoirement remplacé par la démonstration de : "s'il existe une
solution, alors pgdc(a,b) divise c", ce qui m'embête un peu parce que, là,
je n'ai pas d'idée de démonstration.

D'avance, merci pour vos remarques.

Cordialement.

Gibbs.

[Anonyme]

Am 20/12/03 20:34, sagte Gibbs (achille.p170@skynet.be) :

> Bonsoir à toutes et à tous,
>
> On a (du moins ceux de la classe que ça intéresse) un petit travail à faire
> en maths pour la rentrée ; pas bien méchant : il s'agit de démontrer une
> proposition du genre :
> P Q (P si et seulement si Q).
>
> En ce qui me concerne, le problème vient surtout du "si et seulement si".
>
> Je suppose que démontrer "PQ" revient à démontrer :
> 1) Si P, alors Q
> 2) Si Q, alors P
> faisant de P (et, par réciprocité, de Q aussi, je suppose) une condition
> "suffisante et nécessaire".
>
> Mais, en l'occurrence, ça m'arrangerait bien qu'on puisse aussi démontrer
> PQ en démontrant :
> 1) Si P, alors Q (P est condition suffisante)
> 2) Si non-P, alors non-Q (P devenant alors, selon moi (?!?) une condition
> nécessaire pour que Q soit vrai, puisque non-P implique non-Q. Est-ce que
> j'ai raison ou pas ?)
oui
(nonP => nonQ) et (Q=>P) sont équivalents

> Concrètement, il s'agit de démontrer que :
> "l'équation diophantienne a*x + b*y = c ( avec : a [différent de 0], b
> [différent de 0], c, entiers) admet au moins une solution si et seulement si
> le plus grand diviseur de a et b divise c".
>
> Et je pense y être arrivé en démontrant que :
> 1) Si pgcd(a,b) divise c, alors il existe une solution
> 2) Si pgdc(a,b) ne divise pas c, il n'existe pas de solution
>
> Maintenant, la question est : suis-je bien arrivé au bout de mes peines, ou
> bien le "2)" de ma démonstration ne convient pas et doit être
> obligatoirement remplacé par la démonstration de : "s'il existe une
> solution, alors pgdc(a,b) divise c", ce qui m'embête un peu parce que, là,
> je n'ai pas d'idée de démonstration.
si si c'est bon

> D'avance, merci pour vos remarques.
>

albert

--

Bitte abnehmen die drei Sterne (***), um Albert Einstein (Junior) zu
antworten

[Anonyme]

[color=green]
> > Mais, en l'occurrence, ça m'arrangerait bien qu'on puisse aussi[/color]
démontrer[color=green]
> > PQ en démontrant :
> > 1) Si P, alors Q (P est condition suffisante)
> > 2) Si non-P, alors non-Q (P devenant alors, selon moi (?!?) une[/color]
condition[color=green]
> > nécessaire pour que Q soit vrai, puisque non-P implique non-Q. Est-ce[/color]
que[color=green]
> > j'ai raison ou pas ?)
> oui
> (nonP => nonQ) et (Q=>P) sont équivalents[/color]

Oui, et ça s'appelle la contraposition.

[Anonyme]

Bonsoir,

albert junior écrivait :
> (nonP => nonQ) et (Q=>P) sont équivalents

Petite justification logique pour s'en convaincre :

Les tables de vérités de (nonP => nonQ) et de (Q=>P) :

Q |P |nonP |nonQ |nP=>nQ |Q=>P
------------------------------
V |V | F | F | V | V
V |F | V | F | V | V
F |F | V | V | V | V
F |V | F | V | F | F

Le tableau est construit sachant que la proposition Q=>P est par
définition fausse quand Q est vraie et P fausse, et vraie dans les
autres cas.

Ici, comme les tables de nP=>nQ et Q=>P sont les mêmes, elles sont
équivalentes.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel écrivait :

> Q |P |nonP |nonQ |nP=>nQ |Q=>P
> ------------------------------
> V |V | F | F | V | V
> V |F | V | F | V | V
> F |F | V | V | V | V
> F |V | F | V | F | F
>
> Le tableau est construit sachant que la proposition Q=>P est par
> d‚finition fausse quand Q est vraie et P fausse, et vraie dans les
> autres cas.

Evidemment je me suis gourré en écrivant le tableau (dans les
implications)

Celui ci est correct :

Q |P |nonP |nonQ |nP=>nQ |Q=>P
------------------------------
V |V | F | F | V | V
V |F | V | F | F | F
F |F | V | V | V | V
F |V | F | V | V | V

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Le Sat, 20 Dec 2003 20:34:42 +0100
"Gibbs" écrivit:

> Bonsoir à toutes et à tous,
>
> On a (du moins ceux de la classe que ça intéresse) un petit travail à
> faire en maths pour la rentrée ; pas bien méchant : il s'agit de
> démontrer une proposition du genre :
> P Q (P si et seulement si Q).
>
> En ce qui me concerne, le problème vient surtout du "si et seulement
> si".
>
> Je suppose que démontrer "PQ" revient à démontrer :
> 1) Si P, alors Q
> 2) Si Q, alors P
> faisant de P (et, par réciprocité, de Q aussi, je suppose) une
> condition"suffisante et nécessaire".
>
> Mais, en l'occurrence, ça m'arrangerait bien qu'on puisse aussi
> démontrer PQ en démontrant :
> 1) Si P, alors Q (P est condition suffisante)
> 2) Si non-P, alors non-Q (P devenant alors, selon moi (?!?) une
> condition nécessaire pour que Q soit vrai, puisque non-P implique
> non-Q. Est-ce que j'ai raison ou pas ?)
Tout à fait.

P=>Q signifie : Q ou ( non P)
Q=>P signifie donc : P ou (non Q)
Ce qui équivaut à :
(non Q) ou (non (non P))
soit
(non Q) => (non P)

>
> Concrètement, il s'agit de démontrer que :
> "l'équation diophantienne a*x + b*y = c ( avec : a [différent de 0],
> b[différent de 0], c, entiers) admet au moins une solution si et
> seulement si le plus grand diviseur de a et b divise c".
>
> Et je pense y être arrivé en démontrant que :
> 1) Si pgcd(a,b) divise c, alors il existe une solution

Cela ne me parait pas trivial.

> 2) Si pgdc(a,b) ne divise pas c, il n'existe pas de solution

Il est plus simple de montrer que s'il existe une solution, le pgcd de a
et b divise c.

> Maintenant, la question est : suis-je bien arrivé au bout de mes
> peines, ou bien le "2)" de ma démonstration ne convient pas et doit
> être obligatoirement remplacé par la démonstration de : "s'il existe
> une solution, alors pgdc(a,b) divise c", ce qui m'embête un peu parce
> que, là, je n'ai pas d'idée de démonstration.

Dans ma lointaine classe de 5e, j'ai appris que si un nombre divisait un
autre, il divisait tous ses multiples et que s'il divisait deux autres
nombres il divisait également leur somme et leur différence.

JJR.