Exercice de dénombrement

[Anonyme]

Bonjour,
pourriez vous m'aidez pour la résolution d'un exercice de dénombrement :
n désigne un entier naturel, p un entier naturel non nul
On cherche le nombre de solutions entières (dans N) de l'équation :
x1 + x2 + ... + xp = n ie qu'on cherche le nb de p-uplets (x1, x2, ...,xp)
vérifiant l'équation.
On montre (dejà fait) que le nb de solution est C(n-1+p, p).
On cherche désormais le nb de solutions de l'inéquation:
x1 + x2 + ... + xp <= n
Il faut donc cette fois ci faire une somme de C(n,k) :
le nb de solutions est :
sum(k,1,n,C(k-1+p,p))
pour simplifier cette expression il faut utiliser la formule de pascal et
faire un addition en cascade mais je n'aboutis à rien...

merci par avance de votre aide.

[Anonyme]

Soxx wrote:
> Bonjour,
> pourriez vous m'aidez pour la résolution d'un exercice de dénombrement :
> n désigne un entier naturel, p un entier naturel non nul
> On cherche le nombre de solutions entières (dans N) de l'équation :
> x1 + x2 + ... + xp = n ie qu'on cherche le nb de p-uplets (x1, x2, ...,xp)
> vérifiant l'équation.
> On montre (dejà fait) que le nb de solution est C(n-1+p, p).
On ?

> On cherche désormais le nb de solutions de l'inéquation:
> x1 + x2 + ... + xp Il faut donc cette fois ci faire une somme de C(n,k) :
> le nb de solutions est :
> sum(k,1,n,C(k-1+p,p))
> pour simplifier cette expression il faut utiliser la formule de pascal et
> faire un addition en cascade mais je n'aboutis à rien...
>
> merci par avance de votre aide.
>

C(n,k) = C(n+1,k+1) - C(n,k+1)
C(n+1,k) = C(n+2,k+1) - C(n+1,k+1)
etc...
tu l'as, ta formule d'addition en cascade !

à propos, j'aimerais bien ne pas devoir te répéter à chaque fois de ne
pas crossposter sans suivi sur feem et sur fsm.

albert

[Anonyme]

> C(n,k) = C(n+1,k+1) - C(n,k+1)
> C(n+1,k) = C(n+2,k+1) - C(n+1,k+1)
> etc...
> tu l'as, ta formule d'addition en cascade !
>

il ne reste plus que le terme en haut a gauche - le terme qui sera tout en
bas a droite...

[Anonyme]

thn wrote:

> il ne reste plus que le terme en haut a gauche - le terme qui sera tout en
> bas a droite...
>
>
c'est le contraire... il restera le terme en bas à gauche - le terme en
haut à droite.

albert

[Anonyme]

> c'est le contraire... il restera le terme en bas à gauche - le terme en
> haut à droite.

oui mais comme c'etait la somme pour k allant de 1 à n en l'écrivant je
trouve l'autre chose... enfin bref ce n'est pas trop important il suffit
juste de l'écrire...