Equations de degré 4

[Anonyme]

Bonjour.

Existe-t-il une méthode générale pour résoudre les équations polynomiales de
degré 4 , quel que soit les valeurs des coefficients ?

je connais en effet la méthode lorsque les coefficients sont symétriques
(méthode de Ferrari non ?) mais pour une équation telle que 3x^4 - 8x^3 + 8 = 0
(par exemple), je coince ...

Merci d'avance !

[Anonyme]

pasquetstephane a écrit:
> Bonjour.
>
> Existe-t-il une méthode générale pour résoudre les équations polynomiales de
> degré 4 , quel que soit les valeurs des coefficients ?
>
> je connais en effet la méthode lorsque les coefficients sont symétriques
> (méthode de Ferrari non ?) mais pour une équation telle que 3x^4 - 8x^3 + 8 = 0
> (par exemple), je coince ...
>
> Merci d'avance !

La méthode de Ferrari ne nécessite justement pas de symétrie sur les
coefficiants. Une recherche sur google devrait t'aider.
Quand les coefficiants sont symétriques il suffit de factoriser par x^2
et d'introduire X = x + 1/x.

--
albert

[Anonyme]

"pasquetstephane" a écrit dans le message de news:
20041112135632.10502.00000281@mb-m25.aol.com...
> Bonjour.
>
> Existe-t-il une méthode générale pour résoudre les équations polynomiales
de
> degré 4 , quel que soit les valeurs des coefficients ?

Oui, une telle méthode existe, mais elle produit en général des expressions
si compliquées, que dans la pratique, on ne l'utilise pas.
Pour l'équation que tu proposes, 3x^4 - 8x^3 + 8 = 0, Maple donne les quatre
solutions, deux réelles et deux non réelles, en une demi-page illisible, où
surnage une racine cubique de 4 + 2*racine(2). Il faut pour cela mettre la
variable _EnvExplicit à true, sinon Maple ne donne rien.
Pratiquement, on se contente dans ce cas d'un algorithme qui donne des
valeurs approchées des solutions avec la précision que l'on veut. Par
exemple ici, pour les deux solutions réelles, 1,23 et 2,49.

Daniel

[Anonyme]

On 12 Nov 2004 18:56:32 GMT, pasquetstephane@aol.com (pasquetstephane)
wrote:

>Bonjour.
>
>Existe-t-il une méthode générale pour résoudre les équations polynomiales de
>degré 4 , quel que soit les valeurs des coefficients ?
>
>je connais en effet la méthode lorsque les coefficients sont symétriques
>(méthode de Ferrari non ?) mais pour une équation telle que 3x^4 - 8x^3 + 8 = 0
>(par exemple), je coince ...
>
>Merci d'avance !

il n'y a pas que Ferrari (qui comme déjà dit ne nécessite pas la
symétrie)
il y a aussi celle de Descartes
les deux nécessitent de se ramener par translation à une équation sans
terme de degré 3 : x^4+px^2+qx+r
et pour Descartes on cherche a,b,c,d tels que
x^4+px^2+qx+r=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
on suppose q non nul (sinon l'équation est bicarrée et pas de pb)
ca donne un systéme et b,c,d s'expriment simplement en fonction de a
qui lui est tel que a^2 est solution d'une équation du 3ième degré

mais bon si cette équation n'a pas de solution évidente
déjà que les formules de Cardan sont pas simples ca va être
certainement inextricable pour arriver à trouver les sol exactes de
l'équation initiale

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

(Marc Pichereau).

> mais bon si cette équation n'a pas de solution évidente
> déjà que les formules de Cardan sont pas simples ca va être
> certainement inextricable pour arriver à trouver les sol exactes de
> l'équation initiale

Oui, en général ça donne des formules d'une page...

--
Bé erre hue ixe eu elle, Bruxelles.