Equation du second degré

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Anonyme

equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:38

Bonjour à toutes et à tous,

Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme "x² +
mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9.

En fait, j'ai résolu le problème de deux façons :

1) En partant de l'idée (démontrable) que, dans un repère orthonormé, toutes
les paraboles d'équations "y = ax² + bx +c" ne sont en fait rien d'autre que
des paraboles d'équations "y = ax²" mais dont les sommets se trouvent
ailleurs qu'à l'origine du repère, j'en ai conclu (en dessinant le graphe et
en tâtonnant un peu) que les deux seules paraboles :
- d'équation " y = x²" (puisque, dans x² + mx + n, a = 1)
- passant par 1
- et ayant un minimum en -9
devaient avoir leurs sommets, l'une en (-2 ; -9), l'autre en (4 ; -9)

Et comme les paraboles sont des courbes avec un axe de symétrie parallèle à
l'axe des ordonnées et passant par le sommet de la parabole, j'en ai conclu
en plus qu'il devait y avoir une seconde racine en -5 ou en 7.
x² + mx + n , répondant aux conditions voulues, vaut donc (x-1)(x+5) ou
(x-1)(x-7), soit, après développements :
x² + 4x - 5 (m = 4 ; n = -5) ou x² - 8x + 7 (m = -8 ; n = 7), et
en vérifiant j'ai constaté que ça marchait.


2) Pensant toujours qu'on peut ramener toutes les équations de paraboles "y
= ax² + bx + c" à l'équation "y = ax²", je suis parti de la parabole
d'équation "y = x²" (a=1) avec le sommet à l'origine du repère, puis j'ai
plusieurs fois changé, comme il le faut, l'origine du repère et effectué les
changements correspondants de coordonnées et d'équations. (Et je suis arrivé
aux mêmes solutions qu'en 1) , soit : y = (x-4)² - 9 ou bien : (x+2)² - 9.)

Les deux méthodes semblent bien fonctionner mais je trouve que la première
fait un peu "bricolage", tandis que la seconde, plus "mathématique", est un
peu lourde.

N'y a-t-il pas une troisième méthode, plus rigoureuse que la première mais
moins tarabiscotée que la seconde (genre système d'équations à n inconnues,
par exemple, [comme quand il faut trouver les coefficients d'une équation du
second degré dont l'une des racines vaut plusieurs fois l'autre]) ?

Bref, je crois que je cherche une méthode plus algébrique que géométrique,
mais je ne la trouve pas.

Merci d'avance pour votre aide.

Gibbs.



Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:38

racine 1 : 1+m+n=0

minimum : il existe x0 tq x0²+mx0+m=-9 et 2x0+m=0 (dérivée nulle en
x0) soit x0=-m/2

d'où -m²/4+n=-9
or 1+m+n=0

puis résolution de ce système (pas dur)

Dans ce genre d'exo, tjs poser toutes les équations qu'on peut écrire avec
les hypothèses puis voir ce qu'on peut faire avec. Se méfier des
"résolutions" géométriques.






"Gibbs" a écrit dans le message de news:
4012a5f8$0$319$ba620e4c@news.skynet.be...
> Bonjour à toutes et à tous,
>
> Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme "x²

+
> mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9.
>
> En fait, j'ai résolu le problème de deux façons :
>
> 1) En partant de l'idée (démontrable) que, dans un repère orthonormé,

toutes
> les paraboles d'équations "y = ax² + bx +c" ne sont en fait rien d'autre

que
> des paraboles d'équations "y = ax²" mais dont les sommets se trouvent
> ailleurs qu'à l'origine du repère, j'en ai conclu (en dessinant le graphe

et
> en tâtonnant un peu) que les deux seules paraboles :
> - d'équation " y = x²" (puisque, dans x² + mx + n, a = 1)
> - passant par 1
> - et ayant un minimum en -9
> devaient avoir leurs sommets, l'une en (-2 ; -9), l'autre en (4 ; -9)
>
> Et comme les paraboles sont des courbes avec un axe de symétrie parallèle

à
> l'axe des ordonnées et passant par le sommet de la parabole, j'en ai

conclu
> en plus qu'il devait y avoir une seconde racine en -5 ou en 7.
> x² + mx + n , répondant aux conditions voulues, vaut donc (x-1)(x+5) ou
> (x-1)(x-7), soit, après développements :
> x² + 4x - 5 (m = 4 ; n = -5) ou x² - 8x + 7 (m = -8 ; n = 7), et
> en vérifiant j'ai constaté que ça marchait.
>
>
> 2) Pensant toujours qu'on peut ramener toutes les équations de paraboles

"y
> = ax² + bx + c" à l'équation "y = ax²", je suis parti de la parabole
> d'équation "y = x²" (a=1) avec le sommet à l'origine du repère, puis j'ai
> plusieurs fois changé, comme il le faut, l'origine du repère et effectué

les
> changements correspondants de coordonnées et d'équations. (Et je suis

arrivé
> aux mêmes solutions qu'en 1) , soit : y = (x-4)² - 9 ou bien : (x+2)² -

9.)
>
> Les deux méthodes semblent bien fonctionner mais je trouve que la première
> fait un peu "bricolage", tandis que la seconde, plus "mathématique", est

un
> peu lourde.
>
> N'y a-t-il pas une troisième méthode, plus rigoureuse que la première mais
> moins tarabiscotée que la seconde (genre système d'équations à n

inconnues,
> par exemple, [comme quand il faut trouver les coefficients d'une équation

du
> second degré dont l'une des racines vaut plusieurs fois l'autre]) ?
>
> Bref, je crois que je cherche une méthode plus algébrique que géométrique,
> mais je ne la trouve pas.
>
> Merci d'avance pour votre aide.
>
> Gibbs.
>
>
>

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:38

"Gibbs" wrote

>Bonjour à toutes et à tous,
>
>Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme "x² +
>mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9.


[snip]

>Les deux méthodes semblent bien fonctionner mais je trouve que la première
>fait un peu "bricolage", tandis que la seconde, plus "mathématique", est un
>peu lourde.
>
>N'y a-t-il pas une troisième méthode, plus rigoureuse que la première mais
>moins tarabiscotée que la seconde (genre système d'équations à n inconnues,
>par exemple, [comme quand il faut trouver les coefficients d'une équation du
>second degré dont l'une des racines vaut plusieurs fois l'autre]) ?
>
>Bref, je crois que je cherche une méthode plus algébrique que géométrique,
>mais je ne la trouve pas.


Bonjour Gibbs,

la parabole sera symétrique par rapport au minimum, la 2e racine est
donc -19. D'après Viète, m = 18 et n = -19.

Lukas Reck

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:38

"Lukas Reck" a écrit dans le message de news:
lka510lsbof3f8jh54icagtrbm07dvt20q@4ax.com...
> "Gibbs" wrote
>[color=green]
> >Bonjour à toutes et à tous,
> >
> >Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme "x²
[/color]
+[color=green]
> >mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9.

>
> [snip]
>
> >Les deux méthodes semblent bien fonctionner mais je trouve que la
[/color]
première[color=green]
> >fait un peu "bricolage", tandis que la seconde, plus "mathématique", est
[/color]
un[color=green]
> >peu lourde.
> >
> >N'y a-t-il pas une troisième méthode, plus rigoureuse que la première
[/color]
mais[color=green]
> >moins tarabiscotée que la seconde (genre système d'équations à n
[/color]
inconnues,[color=green]
> >par exemple, [comme quand il faut trouver les coefficients d'une équation
[/color]
du[color=green]
> >second degré dont l'une des racines vaut plusieurs fois l'autre]) ?
> >
> >Bref, je crois que je cherche une méthode plus algébrique que
[/color]
géométrique,[color=green]
> >mais je ne la trouve pas.

>
> Bonjour Gibbs,
>
> la parabole sera symétrique par rapport au minimum, la 2e racine est
> donc -19. D'après Viète, m = 18 et n = -19.
>
> Lukas Reck[/color]



Lisez bien : "minimum EGAL a -9 et non pas EN -9


>

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:38

Gibbs a écrit:
> Bonjour à toutes et à tous,
>
> Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme "x² +
> mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9.
>
> En fait, j'ai résolu le problème de deux façons :
>
> 1) En partant de l'idée (démontrable) que, dans un repère orthonormé, toutes
> les paraboles d'équations "y = ax² + bx +c" ne sont en fait rien d'autre que
> des paraboles d'équations "y = ax²" mais dont les sommets se trouvent
> ailleurs qu'à l'origine du repère, j'en ai conclu (en dessinant le graphe et
> en tâtonnant un peu) que les deux seules paraboles :
> - d'équation " y = x²" (puisque, dans x² + mx + n, a = 1)
> - passant par 1
> - et ayant un minimum en -9
> devaient avoir leurs sommets, l'une en (-2 ; -9), l'autre en (4 ; -9)
>
> Et comme les paraboles sont des courbes avec un axe de symétrie parallèle à
> l'axe des ordonnées et passant par le sommet de la parabole, j'en ai conclu
> en plus qu'il devait y avoir une seconde racine en -5 ou en 7.
> x² + mx + n , répondant aux conditions voulues, vaut donc (x-1)(x+5) ou
> (x-1)(x-7), soit, après développements :
> x² + 4x - 5 (m = 4 ; n = -5) ou x² - 8x + 7 (m = -8; n = 7), et
> en vérifiant j'ai constaté que ça marchait.
>
>
> 2) Pensant toujours qu'on peut ramener toutes les équations de paraboles "y
> = ax² + bx + c" à l'équation "y = ax²", je suis parti de laparabole
> d'équation "y = x²" (a=1) avec le sommet à l'origine du repère, puis j'ai
> plusieurs fois changé, comme il le faut, l'origine du repère et effectué les
> changements correspondants de coordonnées et d'équations. (Et je suis arrivé
> aux mêmes solutions qu'en 1) , soit : y = (x-4)² - 9 ou bien : (x+2)² - 9.)
>
> Les deux méthodes semblent bien fonctionner mais je trouve que la première
> fait un peu "bricolage", tandis que la seconde, plus "mathématique", est un
> peu lourde.
>
> N'y a-t-il pas une troisième méthode, plus rigoureuse que la première mais
> moins tarabiscotée que la seconde (genre système d'équations à n inconnues,
> par exemple, [comme quand il faut trouver les coefficients d'une équation du
> second degré dont l'une des racines vaut plusieurs fois l'autre]) ?
>
> Bref, je crois que je cherche une méthode plus algébrique que géométrique,
> mais je ne la trouve pas.
>
> Merci d'avance pour votre aide.
>
> Gibbs.
>

Le résultat sur ces trinomes le plus général applicable dans ce casc'est
que en développant le produit (x-x1)(x-x2), on obtient la forme générale
x*x - S*x + P =0 où S et P sont la somme et le produit des racines.On
utilisera aussi le fait que l'axe de symétrie de la parabole est
nécessairement
la droite d'équation x=S/2 (demi somme des racines). Le minimum vaut
donc S*S/4-S*S/2+P ou P - (S*S)/4. Ainsi dans ce probléme la seconde
racine vaut n (produit de 1 par elle même = n), la somme des racines
vaut -m et le minimum -9 vaut n - (m*m)/4
Il en résulte que si x2 est la racine cherhée (x1=1) x2+1 = -m d'où les
égalités : Somme S = -m = 1+x2 ; Produit P = x2 = n ; P - (S*S)/4 = -9.
On en tire une (autre) équation du second degré qui donne la racine x2
de la première (et il y a bien 2 solutions, qui sont celles que tu as
trouvées).
J'eqça
PAUL

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:38


> "Gibbs" a écrit dans le message de news:
> 4012a5f8$0$319$ba620e4c@news.skynet.be...
>[color=green]
>>Bonjour à toutes et à tous,
>>
>>Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n"
>>du trinôme "x² + mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum
>>égal à -9.
>>
[/color]

Sephiroth a repondu:
> racine 1 : 1+m+n=0
>
> minimum : il existe x0 tq x0²+mx0+m=-9 et 2x0+m=0 (dérivée nulle en
> x0) soit x0=-m/2
>
> d'où -m²/4+n=-9
> or 1+m+n=0
>
> puis résolution de ce système (pas dur)
>
> Dans ce genre d'exo, tjs poser toutes les équations qu'on peut écrire avec
> les hypothèses puis voir ce qu'on peut faire avec. Se méfier des
> "résolutions" géométriques.
>


Bonjour,
Sans connaître les dérivées :

Ecrire x² + mx + n = (x+"a")² + "b" (formule du trinome)
Le minimum est quand (x+"a")² qui est >0 ou nul vaut 0
Le trinome vaut alors "b" = -9
Comme 1 est racine : (1+"a")² - 9 = 0
pas trop dur à résoudre et ça donne "a".
Apres c'est quasiment fini ...

--
philippe
(chephip arobase free point fr)

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:38

Tu as fait la même erreur de lecture que moi au début : -9 N'EST PAS
l'abscisse du minimum , C'EST la valeur du minimum...

Lukas Reck a écrit:
> "Gibbs" wrote
>
> [color=green]
>>Bonjour à toutes et à tous,
>>
>>Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme "x² +
>>mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9.

>
>
> [snip]
>
>
>>Les deux méthodes semblent bien fonctionner mais je trouve que la première
>>fait un peu "bricolage", tandis que la seconde, plus "mathématique", est un
>>peu lourde.
>>
>>N'y a-t-il pas une troisième méthode, plus rigoureuse que la première mais
>>moins tarabiscotée que la seconde (genre système d'équations à n inconnues,
>>par exemple, [comme quand il faut trouver les coefficients d'une équation du
>>second degré dont l'une des racines vaut plusieurs fois l'autre]) ?
>>
>>Bref, je crois que je cherche une méthode plus algébrique que géométrique,
>>mais je ne la trouve pas.

>
>
> Bonjour Gibbs,
>
> la parabole sera symétrique par rapport au minimum, la 2e racine est
> donc -19. D'après Viète, m = 18 et n = -19.
>
> Lukas Reck
> [/color]

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:39

Bonjour,

Merci pour ton intervention.

Seulement, je ne comprends pas quand tu dis " 1 + m + n = 0" (faut dire
qu'il m'arrive d'être franchement aveugle, et plus souvent qu'à mon tour).

Si tu repasses par ici, un grand merci de bien vouloir m'expliquer.

Gibbs.

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:39

Bonjour,

La méthode que tu me proposes est sans doute celle qu'on attend de moi car
l'exercice est tiré du chapitre concernant la somme S et le produit P des
racines du trinôme.

Un grand merci pour ton aide précieuse.

Gibbs.

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:39

Bonjour,

ta solution me plait bien car elle est simple (il aurait juste fallu que j'y pense...
c'est là le hic) et me permet de résoudre encore d'autres problèmes qui me paraissaient
impossibles.

Grand merci.

Gibbs.

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:39

eh bien on a le polynôme x²+mx+n et on dit que 1 en est racine soit
1²+m*1+n=0 ie 1+m+n=0

Sephi


"Gibbs" a écrit dans le message de news:
4013d67e$0$321$ba620e4c@news.skynet.be...
> Bonjour,
>
> Merci pour ton intervention.
>
> Seulement, je ne comprends pas quand tu dis " 1 + m + n = 0" (faut dire
> qu'il m'arrive d'être franchement aveugle, et plus souvent qu'à mon tour).
>
> Si tu repasses par ici, un grand merci de bien vouloir m'expliquer.
>
> Gibbs.
>
>
>

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:39

Gibbs a écrit:
> Bonjour,
>
> Merci pour ton intervention.
>
> Seulement, je ne comprends pas quand tu dis " 1 + m + n = 0" (faut dire
> qu'il m'arrive d'être franchement aveugle, et plus souvent qu'à montour).
>
> Si tu repasses par ici, un grand merci de bien vouloir m'expliquer.


C'est pas moi qui l'ai écrit, mais : les racines ont pour somme -m et
pour produit n ; l'une des 2 est 1. l'autre est donc n et leur somme est
1+n .... la somme des racines s'exprime donc d'une part comme -m et
d'autre part comme 1+n...

Anonyme

Merci

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:41

Bonjour,

Quand je disais qu'il m'arrive d'être aveugle...

Encore merci.

Gibbs.

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:44

Paul Delannoy wrote:
> Gibbs a écrit:
>[color=green]
>> Bonjour à toutes et à tous,
>>
>> Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme
>> "x² +
>> mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9.
>>
>> En fait, j'ai résolu le problème de deux façons :
>>
>> 1) En partant de l'idée (démontrable) que, dans un repère orthonormé,
>> toutes
>> les paraboles d'équations "y = ax² + bx +c" ne sont en fait rien
>> d'autre que
>> des paraboles d'équations "y = ax²" mais dont les sommets se trouvent
>> ailleurs qu'à l'origine du repère, j'en ai conclu (en dessinant le
>> graphe et
>> en tâtonnant un peu) que les deux seules paraboles :
>> - d'équation " y = x²" (puisque, dans x² + mx + n, a = 1)
>> - passant par 1
>> - et ayant un minimum en -9
>> devaient avoir leurs sommets, l'une en (-2 ; -9), l'autre en (4 ; -9)
>>
>> Et comme les paraboles sont des courbes avec un axe de symétrie
>> parallèle à
>> l'axe des ordonnées et passant par le sommet de la parabole, j'en ai
>> conclu
>> en plus qu'il devait y avoir une seconde racine en -5 ou en 7.
>> x² + mx + n , répondant aux conditions voulues, vaut donc (x-1)(x+5) ou
>> (x-1)(x-7), soit, après développements :
>> x² + 4x - 5 (m = 4 ; n = -5) ou x² - 8x + 7 (m = -8 ; n =
>> 7), et
>> en vérifiant j'ai constaté que ça marchait.
>>
>>
>> 2) Pensant toujours qu'on peut ramener toutes les équations de
>> paraboles "y
>> = ax² + bx + c" à l'équation "y = ax²", je suis parti de la parabole
>> d'équation "y = x²" (a=1) avec le sommet à l'origine du repère, puis j'ai
>> plusieurs fois changé, comme il le faut, l'origine du repère et
>> effectué les
>> changements correspondants de coordonnées et d'équations. (Et je suis
>> arrivé
>> aux mêmes solutions qu'en 1) , soit : y = (x-4)² - 9 ou bien : (x+2)²
>> - 9.)
>>
>> Les deux méthodes semblent bien fonctionner mais je trouve que la
>> première
>> fait un peu "bricolage", tandis que la seconde, plus "mathématique",
>> est un
>> peu lourde.
>>
>> N'y a-t-il pas une troisième méthode, plus rigoureuse que la première
>> mais
>> moins tarabiscotée que la seconde (genre système d'équations à n
>> inconnues,
>> par exemple, [comme quand il faut trouver les coefficients d'une
>> équation du
>> second degré dont l'une des racines vaut plusieurs fois l'autre]) ?
>>
>> Bref, je crois que je cherche une méthode plus algébrique que
>> géométrique,
>> mais je ne la trouve pas.
>>
>> Merci d'avance pour votre aide.
>>
>> Gibbs.
>>

> Le résultat sur ces trinomes le plus général applicable dans ce cas c'est
> que en développant le produit (x-x1)(x-x2), on obtient la forme générale
> x*x - S*x + P =0 où S et P sont la somme et le produit des racines. On
> utilisera aussi le fait que l'axe de symétrie de la parabole est
> nécessairement
> la droite d'équation x=S/2 (demi somme des racines). Le minimum vaut
> donc S*S/4-S*S/2+P ou P - (S*S)/4. Ainsi dans ce probléme la seconde
> racine vaut n (produit de 1 par elle même = n), la somme des racines
> vaut -m et le minimum -9 vaut n - (m*m)/4
> Il en résulte que si x2 est la racine cherhée (x1=1) x2+1 = -m d'où les
> égalités : Somme S = -m = 1+x2 ; Produit P = x2 = n ; P - (S*S)/4 = -9.
> On en tire une (autre) équation du second degré qui donne la racine x2
> de la première (et il y a bien 2 solutions, qui sont celles que tu as
> trouvées).
> J'eqça
> PAUL
>[/color]
Bien moi je dirais que 1 esracine donc fais P(1) = 0
et le minimum c kand la derrivee sannule
donc il faut trouver X tel que P(x) = - 9 et P'(x) = 0
enfin moi c'est ce que je ferais, et apres je resoudra le systeme

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:44

Paul Delannoy wrote:

> Gibbs a écrit:
>[color=green]
>> Bonjour à toutes et à tous,
>>
>> Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme
>> "x² +
>> mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9.
>>
>> En fait, j'ai résolu le problème de deux façons :
>>
>> 1) En partant de l'idée (démontrable) que, dans un repère orthonormé,
>> toutes
>> les paraboles d'équations "y = ax² + bx +c" ne sont en fait rien
>> d'autre que
>> des paraboles d'équations "y = ax²" mais dont les sommets se trouvent
>> ailleurs qu'à l'origine du repère, j'en ai conclu (en dessinant le
>> graphe et
>> en tâtonnant un peu) que les deux seules paraboles :
>> - d'équation " y = x²" (puisque, dans x² + mx + n, a = 1)
>> - passant par 1
>> - et ayant un minimum en -9
>> devaient avoir leurs sommets, l'une en (-2 ; -9), l'autre en (4 ; -9)
>>
>> Et comme les paraboles sont des courbes avec un axe de symétrie
>> parallèle à
>> l'axe des ordonnées et passant par le sommet de la parabole, j'en ai
>> conclu
>> en plus qu'il devait y avoir une seconde racine en -5 ou en 7.
>> x² + mx + n , répondant aux conditions voulues, vaut donc (x-1)(x+5) ou
>> (x-1)(x-7), soit, après développements :
>> x² + 4x - 5 (m = 4 ; n = -5) ou x² - 8x + 7 (m = -8 ; n =
>> 7), et
>> en vérifiant j'ai constaté que ça marchait.
>>
>>
>> 2) Pensant toujours qu'on peut ramener toutes les équations de
>> paraboles "y
>> = ax² + bx + c" à l'équation "y = ax²", je suis parti de la parabole
>> d'équation "y = x²" (a=1) avec le sommet à l'origine du repère, puis j'ai
>> plusieurs fois changé, comme il le faut, l'origine du repère et
>> effectué les
>> changements correspondants de coordonnées et d'équations. (Et je suis
>> arrivé
>> aux mêmes solutions qu'en 1) , soit : y = (x-4)² - 9 ou bien : (x+2)²
>> - 9.)
>>
>> Les deux méthodes semblent bien fonctionner mais je trouve que la
>> première
>> fait un peu "bricolage", tandis que la seconde, plus "mathématique",
>> est un
>> peu lourde.
>>
>> N'y a-t-il pas une troisième méthode, plus rigoureuse que la première
>> mais
>> moins tarabiscotée que la seconde (genre système d'équations à n
>> inconnues,
>> par exemple, [comme quand il faut trouver les coefficients d'une
>> équation du
>> second degré dont l'une des racines vaut plusieurs fois l'autre]) ?
>>
>> Bref, je crois que je cherche une méthode plus algébrique que
>> géométrique,
>> mais je ne la trouve pas.
>>
>> Merci d'avance pour votre aide.
>>
>> Gibbs.
>>

> Le résultat sur ces trinomes le plus général applicable dans ce cas c'est
> que en développant le produit (x-x1)(x-x2), on obtient la forme générale
> x*x - S*x + P =0 où S et P sont la somme et le produit des racines. On
> utilisera aussi le fait que l'axe de symétrie de la parabole est
> nécessairement
> la droite d'équation x=S/2 (demi somme des racines). Le minimum vaut
> donc S*S/4-S*S/2+P ou P - (S*S)/4. Ainsi dans ce probléme la seconde
> racine vaut n (produit de 1 par elle même = n), la somme des racines
> vaut -m et le minimum -9 vaut n - (m*m)/4
> Il en résulte que si x2 est la racine cherhée (x1=1) x2+1 = -m d'où les
> égalités : Somme S = -m = 1+x2 ; Produit P = x2 = n ; P - (S*S)/4 = -9.
> On en tire une (autre) équation du second degré qui donne la racine x2
> de la première (et il y a bien 2 solutions, qui sont celles que tu as
> trouvées).
> J'eqça
> PAUL
>[/color]

Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme "x² +
mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9. :

P(x) = x^2 + mx + n

1 est racine donc P(1) = 0
d'ou m + n = -1 .

de plus le minimum est en -9 donc pour connaitre labscisse du minimum,
fo trouver alpha | P(alpha) = - 9 et P'(alpha) = 0 :

P'(x) = 2x + m

donc 2alpha + m = 0 ainsi alpha = -m / 2
donc m^2/4 - 2m^2/4 + n = 0
d'ou -m^2/4 + n = 0 (1)
et m + n = - 1 (2)

(1) - (2) :

-m^2/4 -m -1 = 0
m^2/4 + m + 1 = 0

delta = 1 - 4*1*1/4 = 0

solution double : m = -1/(2*1/4) = -2

et de (1) : -2 + n = 0 donc n= 2.

Conclusion : m=- 2 et n= 2

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:44


> Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme "x² +
> mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9. :
>
> P(x) = x^2 + mx + n
>
> 1 est racine donc P(1) = 0
> d'ou m + n = -1 .
>
> de plus le minimum est en -9 donc pour connaitre labscisse du minimum,
> fo trouver alpha | P(alpha) = - 9 et P'(alpha) = 0 :
>
> P'(x) = 2x + m
>
> donc 2alpha + m = 0 ainsi alpha = -m / 2
> donc m^2/4 - 2m^2/4 + n = 0
> d'ou -m^2/4 + n = 0 (1)
> et m + n = - 1 (2)
>
> (1) - (2) :
>
> -m^2/4 -m -1 = 0
> m^2/4 + m + 1 = 0
>
> delta = 1 - 4*1*1/4 = 0
>
> solution double : m = -1/(2*1/4) = -2
>
> et de (1) : -2 + n = 0 donc n= 2.
>
> Conclusion : m=- 2 et n= 2
>
>


je l'ai relu et pense que c'est juste. je trouve ca plus elegant.

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:44

Stephane PLE a écrit:
>[color=green]
>> Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme
>> "x² +
>> mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9. :
>>
>> P(x) = x^2 + mx + n
>>
>> 1 est racine donc P(1) = 0
>> d'ou m + n = -1 .
>>
>> de plus le minimum est en -9 donc pour connaitre labscisse du minimum,
>> fo trouver alpha | P(alpha) = - 9 et P'(alpha) = 0 :
>>
>> P'(x) = 2x + m
>>
>> donc 2alpha + m = 0 ainsi alpha = -m / 2
>> donc m^2/4 - 2m^2/4 + n = 0
>> d'ou -m^2/4 + n = 0 (1)
>> et m + n = - 1 (2)
>>
>> (1) - (2) :
>>
>> -m^2/4 -m -1 = 0
>> m^2/4 + m + 1 = 0
>>
>> delta = 1 - 4*1*1/4 = 0
>>
>> solution double : m = -1/(2*1/4) = -2
>>
>> et de (1) : -2 + n = 0 donc n= 2.
>>
>> Conclusion : m=- 2 et n= 2
>>
>>

>
> je l'ai relu et pense que c'est juste. je trouve ca plus elegant.[/color]
DOMMAGE...
au point où P' s'annule, P vaut pas 0 mais -9....

Anonyme

Re: equation du second degré

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:44

Bonjour à Stephane PLE qui nous a écrit :
> Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme
> "x² + mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9. :
>
> P(x) = x^2 + mx + n
>
> 1 est racine donc P(1) = 0
> d'ou m + n = -1 .
>
> de plus le minimum est en -9 donc pour connaitre labscisse du minimum,
> fo trouver alpha | P(alpha) = - 9 et P'(alpha) = 0 :
>
> P'(x) = 2x + m
>
> donc 2alpha + m = 0 ainsi alpha = -m / 2
> donc m^2/4 - 2m^2/4 + n = 0


Non : m^2/4 - 2m^2/4 + n = -9 ( car P(alpha) = - 9 )

--
Cordialement, Thierry ;-)

 

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