par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:44
Paul Delannoy wrote:
> Gibbs a écrit:
>[color=green]
>> Bonjour à toutes et à tous,
>>
>> Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme
>> "x² +
>> mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9.
>>
>> En fait, j'ai résolu le problème de deux façons :
>>
>> 1) En partant de l'idée (démontrable) que, dans un repère orthonormé,
>> toutes
>> les paraboles d'équations "y = ax² + bx +c" ne sont en fait rien
>> d'autre que
>> des paraboles d'équations "y = ax²" mais dont les sommets se trouvent
>> ailleurs qu'à l'origine du repère, j'en ai conclu (en dessinant le
>> graphe et
>> en tâtonnant un peu) que les deux seules paraboles :
>> - d'équation " y = x²" (puisque, dans x² + mx + n, a = 1)
>> - passant par 1
>> - et ayant un minimum en -9
>> devaient avoir leurs sommets, l'une en (-2 ; -9), l'autre en (4 ; -9)
>>
>> Et comme les paraboles sont des courbes avec un axe de symétrie
>> parallèle à
>> l'axe des ordonnées et passant par le sommet de la parabole, j'en ai
>> conclu
>> en plus qu'il devait y avoir une seconde racine en -5 ou en 7.
>> x² + mx + n , répondant aux conditions voulues, vaut donc (x-1)(x+5) ou
>> (x-1)(x-7), soit, après développements :
>> x² + 4x - 5 (m = 4 ; n = -5) ou x² - 8x + 7 (m = -8 ; n =
>> 7), et
>> en vérifiant j'ai constaté que ça marchait.
>>
>>
>> 2) Pensant toujours qu'on peut ramener toutes les équations de
>> paraboles "y
>> = ax² + bx + c" à l'équation "y = ax²", je suis parti de la parabole
>> d'équation "y = x²" (a=1) avec le sommet à l'origine du repère, puis j'ai
>> plusieurs fois changé, comme il le faut, l'origine du repère et
>> effectué les
>> changements correspondants de coordonnées et d'équations. (Et je suis
>> arrivé
>> aux mêmes solutions qu'en 1) , soit : y = (x-4)² - 9 ou bien : (x+2)²
>> - 9.)
>>
>> Les deux méthodes semblent bien fonctionner mais je trouve que la
>> première
>> fait un peu "bricolage", tandis que la seconde, plus "mathématique",
>> est un
>> peu lourde.
>>
>> N'y a-t-il pas une troisième méthode, plus rigoureuse que la première
>> mais
>> moins tarabiscotée que la seconde (genre système d'équations à n
>> inconnues,
>> par exemple, [comme quand il faut trouver les coefficients d'une
>> équation du
>> second degré dont l'une des racines vaut plusieurs fois l'autre]) ?
>>
>> Bref, je crois que je cherche une méthode plus algébrique que
>> géométrique,
>> mais je ne la trouve pas.
>>
>> Merci d'avance pour votre aide.
>>
>> Gibbs.
>>
> Le résultat sur ces trinomes le plus général applicable dans ce cas c'est
> que en développant le produit (x-x1)(x-x2), on obtient la forme générale
> x*x - S*x + P =0 où S et P sont la somme et le produit des racines. On
> utilisera aussi le fait que l'axe de symétrie de la parabole est
> nécessairement
> la droite d'équation x=S/2 (demi somme des racines). Le minimum vaut
> donc S*S/4-S*S/2+P ou P - (S*S)/4. Ainsi dans ce probléme la seconde
> racine vaut n (produit de 1 par elle même = n), la somme des racines
> vaut -m et le minimum -9 vaut n - (m*m)/4
> Il en résulte que si x2 est la racine cherhée (x1=1) x2+1 = -m d'où les
> égalités : Somme S = -m = 1+x2 ; Produit P = x2 = n ; P - (S*S)/4 = -9.
> On en tire une (autre) équation du second degré qui donne la racine x2
> de la première (et il y a bien 2 solutions, qui sont celles que tu as
> trouvées).
> J'eqça
> PAUL
>[/color]
Voilà : Il faut que je trouve les coefficients "m" et "n" du trinôme "x² +
mx + n" s'il admet 1 pour racine et a un minimum égal à -9. :
P(x) = x^2 + mx + n
1 est racine donc P(1) = 0
d'ou m + n = -1 .
de plus le minimum est en -9 donc pour connaitre labscisse du minimum,
fo trouver alpha | P(alpha) = - 9 et P'(alpha) = 0 :
P'(x) = 2x + m
donc 2alpha + m = 0 ainsi alpha = -m / 2
donc m^2/4 - 2m^2/4 + n = 0
d'ou -m^2/4 + n = 0 (1)
et m + n = - 1 (2)
(1) - (2) :
-m^2/4 -m -1 = 0
m^2/4 + m + 1 = 0
delta = 1 - 4*1*1/4 = 0
solution double : m = -1/(2*1/4) = -2
et de (1) : -2 + n = 0 donc n= 2.
Conclusion : m=- 2 et n= 2