Dérivée d'opérateur

[Anonyme]

Bonjour,

Je suis pas encore totalement à l'aise avec les dérivées d'opérateurs
aux sens de Gateau et Fréchet. Donc j'ai une question:

G[f] = Int_x Int_y { (f(x)-f(y))^2 h(x,y) dx dy}

Quelle est la dérivée de G par rapport à f ?

Merci beaucoup.

--
Genji
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry

[Anonyme]

Le Tue, 14 Oct 2003 19:25:56 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:

> Je suis pas encore totalement à l'aise avec les dérivées d'opérateurs
> aux sens de Gateau et Fréchet. Donc j'ai une question:
>
> G[f] = Int_x Int_y { (f(x)-f(y))^2 h(x,y) dx dy}
>
> Quelle est la dérivée de G par rapport à f ?

Hop, comme j'ai pas encore eu de reponses, je vous file une question
encore plus embetante :

G est defini par :

G[f] = Int_x Int_y { (f(x)-f(y))^2 K(x,y)p(x)p(y) dx dy}
+ Int_x Int_t { (f(x)-t)^2 p(x,t) dx dt}

Si ca peut aider (je crois que ca simplifie un peu), K est symetrique
(dans le sens K(x,y) = K(y,x)) et les p sont des densites de probabilite
quelconques.

Si vous connaissez un logiciel gratuit qui fait les derivees
d'operateurs, ca peut m'interesser aussi (ou si vous savez si
Mathematica le fait et si oui, comment le faire).

Gros poutous !

--
Genji
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry

[Anonyme]

Nicolas Le Roux wrote:
> Le Tue, 14 Oct 2003 19:25:56 +0000 (UTC),
> Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:
>
>[color=green]
>> Je suis pas encore totalement à l'aise avec les dérivées d'opérateurs
>> aux sens de Gateau et Fréchet. Donc j'ai une question:
>>
>> G[f] = Int_x Int_y { (f(x)-f(y))^2 h(x,y) dx dy}
>>
>> Quelle est la dérivée de G par rapport à f ?[/color]

Salut Nicolas.

Je n'ai que de trés vagues souvenirs de prépas de ce genre de chose,
mais voici comment je vois les choses :

ton opérateur G peut être décomposé en deux opérateurs/(fonctions ?).

Le premier c'est celui qui va de L² dans L et qui à (x,y) associe
(x-y)². L est un espace,je ne sais pas trop lequel, mais c'est genre R
ou l'espace des fonctions de R qui ont certaines propriétés qui font que
l'intégrale est toujours calculable. Appelons le P

Le deuxième, c'est l'opérateur intégrale, sur deux variables. appelons le Q

G = QoP (opérateur de composition : o)

J'imaginen que la formule classique de dérivation de fonctions composées
s'appliques dans ce cas :

G' = P' * Q'oP

il te faut donc P' et Q'

Q est une application linéaire. Tu dois avoir dans ton cours comment
dériver les applications linéaire dans le cas d'applications un peu
zarbi. Je ne me souviens pas trop, mais ça doit être hyper simple,
surtout pour l'opérateur intégrale. ça doit être genre :

Q' = Int_x Int_y((f(x)-f(y))² dx dy)

ça doit pas être trop compliqué non plus de calculer P'.

ça devrait suffire pour avoir le résultat.

Ne me le demande pas, je ne le connait pas. Voilà, si ça peut aider...
Je serais intéressé par la solution.

Alexandre.

[Anonyme]

Le Thu, 16 Oct 2003 13:31:02 +0100,
AG grava à la saucisse et au marteau:

> Ne me le demande pas, je ne le connait pas. Voilà, si ça peut aider...
> Je serais intéressé par la solution.

En fait, je me suis debrouille autrement, desole

--
Genji
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry

[Anonyme]

Tiens, j'avais zappé ce post.

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:49121), a
écrit :[color=green]
>> Je suis pas encore totalement à l'aise avec les dérivées d'opérateurs
>> aux sens de Gateau et Fréchet. Donc j'ai une question:[/color]

Tiens, c'est vrai que ça existe des mots comme ceux-là... Je me rappelle
vaguement de notre cher Ekeland qui disais Gâââteau-différentiable quand
j'étais conscrit. Hmm, hélas, je ne me rappelle plus de ce qu'il y avait
autour.
[color=green]
>> G[f] = Int_x Int_y { (f(x)-f(y))^2 h(x,y) dx dy}
>>
>> Quelle est la dérivée de G par rapport à f ?
>
> Hop, comme j'ai pas encore eu de reponses, je vous file une question
> encore plus embetante :[/color]

Bon, ben, je vais faire seulement la première en fait.

Je sais pas du tout si c'est comme ça que l'on présente les choses quand
on est dans le coup, mais moralement moi j'écrirais les trucs qui suivent.
On prend df une toute petite fonction et on calcule

G[f+df] = Int_x Int_y { (f(x)-f(y)+df(x)-df(y))^2 h(x,y) dx dy}

Voilà, on développe tout ça, et si je ne me suis pas planté, on arrive
à :

G[f+df] = G[f] + Int_x Int_y { df(x)*(f(x)-f(y))*(h(x,y)-h(y,x)) dx dy}
+ des termes dans lesquels on intègre du df^2

Là je reconnais vaguement un développement limité à l'ordre 1 (le gros
truc avec les intégrales est bien linéaire en df, hein ? et quand on
intégrè du df^2, ça va rester tout petit, hein) ; donc je dirais
volontiers que la différentielle que tu cherches est la forme linéaire :

h |-> Int_x Int_y { h(x)*(f(x)-f(y))*(h(x,y)-h(y,x)) dx dy}

Maintenant, si tu veux les extréma, il faut écrire que ce truc est nul
et bon, ben, je te laisse faire.

> G est defini par :
>
> G[f] = Int_x Int_y { (f(x)-f(y))^2 K(x,y)p(x)p(y) dx dy}
> + Int_x Int_t { (f(x)-t)^2 p(x,t) dx dt}

Pareil mais en plus calculatoire... bon courage, mon gars

> Si ca peut aider (je crois que ca simplifie un peu), K est symetrique
> (dans le sens K(x,y) = K(y,x)) et les p sont des densites de probabilite
> quelconques.

C'est sûr que ça va aider ça... j't'l'dis, moi.

> Si vous connaissez un logiciel gratuit qui fait les derivees
> d'operateurs, ca peut m'interesser aussi (ou si vous savez si
> Mathematica le fait et si oui, comment le faire).

J'ai un bouquin de mathématica là sous les yeux, mais c'est pour les
DEUG ; je ne suis pas sûr qu'ils évoquent ce genre de trucs, donc.

> Gros poutous !

.

[Anonyme]

Le Thu, 16 Oct 2003 17:57:49 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:

G[f+df] = G[f] + Int_x Int_y { df(x)*(f(x)-f(y))*(h(x,y)-h(y,x)) dx dy}
> + des termes dans lesquels on intègre du df^2
>
> Là je reconnais vaguement un développement limité à l'ordre 1 (le gros
> truc avec les intégrales est bien linéaire en df, hein ? et quand on
> intégrè du df^2, ça va rester tout petit, hein) ; donc je dirais
> volontiers que la différentielle que tu cherches est la forme linéaire :
>
> h |-> Int_x Int_y { h(x)*(f(x)-f(y))*(h(x,y)-h(y,x)) dx dy}
>
> Maintenant, si tu veux les extréma, il faut écrire que ce truc est nul
> et bon, ben, je te laisse faire.

Ca, j'avais fait tout seul quand meme (oui, je fais tout seul
maintenant, je suis un grand).

Simplement, il faut reconnaitre la dedans un produit scalaire pour
recuperer delicatement le gradient (ou alors deviner ce que devient
l'equation si on veut que ce soit nul pour tout h) et c'est la ou je
bloquais (ou je bloque ptet d'ailleurs toujours, mais je m'en fous, j'ai
fait autrement, na !)

--
Genji
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:49184), a
écrit :
> Ca, j'avais fait tout seul quand meme (oui, je fais tout seul
> maintenant, je suis un grand).

C'est mieux, ça... ça y est, il marche ! Dans quelque temps, tu apprendras
à courir aussi mon petit.

> Simplement, il faut reconnaitre la dedans un produit scalaire pour
> recuperer delicatement le gradient (ou alors deviner ce que devient
> l'equation si on veut que ce soit nul pour tout h) et c'est la ou je
> bloquais (ou je bloque ptet d'ailleurs toujours, mais je m'en fous, j'ai
> fait autrement, na !)

Ah, tu veux dire qu'on est dans un espace de Hilbert et donc que toute
forme linéaire continue peut s'interpréter comme le produit scalaire
contre un vecteur (c'est vrai ça au fait ? et puis pourquoi d'ailleurs ?),
c'est ça ?

--
Xavier, qui ouch l'analyse, ça fait longtemps...

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:49184), a
écrit :
> Simplement, il faut reconnaitre la dedans un produit scalaire pour
> recuperer delicatement le gradient (ou alors deviner ce que devient
> l'equation si on veut que ce soit nul pour tout h) et c'est la ou je
> bloquais (ou je bloque ptet d'ailleurs toujours, mais je m'en fous, j'ai
> fait autrement, na !)

Euh, maintenant que j'y pense, il me semble que ce truc là :
[color=green]
>> h |-> Int_x Int_y { h(x)*(f(x)-f(y))*(h(x,y)-h(y,x)) dx dy }[/color]

c'est simplement l'intégrale

Int_x { h(x) * P(x) dx }

où P(x) = Int_y { (f(x)-f(y))*(h(x,y)-h(y,x)) dy }
en appliquant Fubini, et on a sûrement le droit parce que de toute façon,
Fubini on a toujours le droit, hein ?

Voilà, donc on reconnaît le produit scalaire de h contre P, c'est donc
P ta dérivée que tu cherches, non ?

--
Xavier, qui dois dire n'importe quoi, en fait

[Anonyme]

Le Fri, 17 Oct 2003 11:38:20 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:


> Euh, maintenant que j'y pense, il me semble que ce truc là :
>[color=green][color=darkred]
> >> h |-> Int_x Int_y { h(x)*(f(x)-f(y))*(h(x,y)-h(y,x)) dx dy }[/color]
>
> c'est simplement l'intégrale
>
> Int_x { h(x) * P(x) dx }
>
> où P(x) = Int_y { (f(x)-f(y))*(h(x,y)-h(y,x)) dy }[/color]

En fait, c'était pas (h(x)-h(y) dans l'intégrale plutôt ? Enfin, moi,
c'est ce que je trouvais. Enfin, de toute façon, celle-là ça marchait
avec un produit scalaire bizarre je crois. Mais quand tu rajoutes le
deuxième morceaux que j'ai mis; il me semble que tu devais prendre deux
produits scalaires différents, ce qui est très con. M'enfin, t'embête
pas parce que j'ai plus envie de m'y replonger et ça me chagrine de te
faire bosser sur un sujet sur lequel je ne bosse plus.

--
Genji, qui que quoi dont où
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:49255), a
écrit :
> En fait, c'était pas (h(x)-h(y) dans l'intégrale plutôt ?

Muf ? h c'est pas une fonction de deux variables ? Enfin, je sais qu'il y
a deux h dans ce que j'ai écrit, ce qui n'est pas très heureux, mais bon
on se comprend.

> Enfin, moi, c'est ce que je trouvais. Enfin, de toute façon, celle-là
> ça marchait avec un produit scalaire bizarre je crois.

Hmf... C'est pas = int (f(x)g(x)dx) le produit scalaire, là ?

> Mais quand tu rajoutes le deuxième morceaux que j'ai mis; il me semble
> que tu devais prendre deux produits scalaires différents, ce qui est
> très con.

Mais keskidi ? Tu dois avoir raison j'ai pas fait le calcul, mais bon.

> M'enfin, t'embête pas parce que j'ai plus envie de m'y replonger et ça
> me chagrine de te faire bosser sur un sujet sur lequel je ne bosse plus.

Allez, on fait un marché. Moi, je fais ce truc et toi tu prends K un
corps local de caractéristique mixte (j'appelle p la caractéristique
du corps résiduel), et tu essaies de calculer les points fixes de O_Kbar/p
sous l'action du groupe d'inertie sauvage. Pareil, c'est un truc que je
voulais faire mais que je viens de trouver un moyen de m'en passer.
Tu topes là ?

[Anonyme]

Le Fri, 17 Oct 2003 13:07:20 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:

> Muf ? h c'est pas une fonction de deux variables ? Enfin, je sais qu'il y
> a deux h dans ce que j'ai écrit, ce qui n'est pas très heureux, mais bon
> on se comprend.

Bah f est une fonction d'une seule variable, donc pour ta dérivée, le
bitonio que tu rajoutes est une fonction d'une seule variable aussi. Tu
as (bitoni(x)-bitonio(y)) et c'est pas toi qui a appelé le bitonio h,
petit canaillou ?

> Hmf... C'est pas = int (f(x)g(x)dx) le produit scalaire, là ?

Bah justement, avec ma formule alakon, j'arrivais pas à prendre ce ps.
Mais je suis ptet pas doué aussi.
[color=green]
> > M'enfin, t'embête pas parce que j'ai plus envie de m'y replonger et ça
> > me chagrine de te faire bosser sur un sujet sur lequel je ne bosse plus.
>
> Allez, on fait un marché. Moi, je fais ce truc et toi tu prends K un
> corps local de caractéristique mixte (j'appelle p la caractéristique
> du corps résiduel), et tu essaies de calculer les points fixes de O_Kbar/p
> sous l'action du groupe d'inertie sauvage. Pareil, c'est un truc que je
> voulais faire mais que je viens de trouver un moyen de m'en passer.
> Tu topes là ?[/color]

Pas de problème. Juste le temps de ressortir mes bouquins de 4e et je te
fais ça.

--
Genji
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:49262), a
écrit :
> Bah f est une fonction d'une seule variable, donc pour ta dérivée, le
> bitonio que tu rajoutes est une fonction d'une seule variable aussi. Tu
> as (bitoni(x)-bitonio(y)) et c'est pas toi qui a appelé le bitonio h,
> petit canaillou ?

Je crois que l'on a du mal à se comprendre, je reprends donc...

Toi, tu as fait intervenir une fonction h que je vais continuer à appeler
h. Moi, j'ai fait intervenir une fonction h que je vais appeler selon ton
bon désir bitonio. Pour moi, dans P, la fonction qui intervient est h,
pas bitonio. Juste celle-là, je l'ai virée.
[color=green]
>> Hmf... C'est pas = int (f(x)g(x)dx) le produit scalaire, là ?
>
> Bah justement, avec ma formule alakon, j'arrivais pas à prendre ce ps.
> Mais je suis ptet pas doué aussi.[/color]

Moi, il me semble que ça marche.

> Pas de problème. Juste le temps de ressortir mes bouquins de 4e et je te
> fais ça.

Merci. Si tu trouves, je te mets co-auteur.

[Anonyme]

Le Fri, 17 Oct 2003 13:07:20 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:

> Allez, on fait un marché. Moi, je fais ce truc et toi tu prends K un
> corps local de caractéristique mixte (j'appelle p la caractéristique
> du corps résiduel), et tu essaies de calculer les points fixes de O_Kbar/p
> sous l'action du groupe d'inertie sauvage. Pareil, c'est un truc que je
> voulais faire mais que je viens de trouver un moyen de m'en passer.

"Corps local de caracteristique mixte" et "groupe d'inertie sauvage" ne
donnent aucun resultat dans Google, TRAITRE !

--
Genji
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:49279), a
écrit :
> "Corps local de caracteristique mixte" et "groupe d'inertie sauvage" ne
> donnent aucun resultat dans Google, TRAITRE !

Ben, ça existe vraiment pourtant... et c'est vraiment une question qui
m'intéresse (intéressait ?) aussi.

Euh, j'explique ou pas ? Euh... je vais le faire grossier. Imagine que
l'on choisisse p un nombre premier et qu'à partir de maintenant on décide
de compter en base p. Imagine en outre que l'on décide que les nombres
(entiers) peuvent avoir une infinité de chiffres à gauche ; on les
additionne et on les multiplie avec les règles que tu as appris depuis
ta plus tendre enfance.

Voilà, là, tu as des nouveaux nombres et des nouvelles règles, et tu
obtiens un anneau intègre qu'on appelle Z_p. Son corps des fractions
s'obtient simplement en inversant p (ou 10 si on écrit en base p), et
c'est donc les nombres comme avant mais avec en plus un nombre fini de
chiffres après la virgule. C'est Q_p. Ouais, ouais, vous êtes présentés.
Serrez-vous la main.

Bon, alors maintenant, on peut faire des extensions de Q_p. Alors là, il y
a un truc un peu magique... c'est qu'en fait, on peut donner de nouvelles
lois pour les opérations précédentes qui s'expriment « sans retenue » ;
c'est-à-dire que pour faire le calcul d'une somme ou d'un produit, on n'a
pas besoin de faire de tests, on calcule juste une expression polynômiale
en les chiffres plus à droite pour trouver le chiffre en question du
résultat. Ouais, ouais, j't'assure. Les calculs se font alors dans Z/pZ.

Bon alors maintenant, ce que l'on peut faire c'est prendre une extension
de Z/pZ et faire la même construction avec cette extension finie. Et comme
ça, on obtient une extension de Q_p.

Il y a un autre moyen d'obtenir une extension de Q_p. C'est de rajouter
des chiffres en position fractionnaire. Par exemple pour faire une racine
carrée de p, on introduit le nombre 10 mais où le 1 est placé en position
1/2, c'est le chiffre suivant qui sera celui des dizaines. Bref.

C'est en gros les deux seuls moyens. C'est le en gros qui est important
ici en fait. On part donc de Q_p, mais construit à partir d'un clôture
algébrique de Z/pZ. Ce truc on l'appelle traditionnellement Q_p^nr (nr
pour non ramifié). Et maintenant, on intercale comme tout à l'heure des
chiffres à toutes les positions (enfin non, mais zut) de la forme a/b
avec b premier à p. Le corps obtenu alors est Q_p^mr (mr pour modérément
ramifié). Et évidemment c'est pas toute la clôture algébrique de Q_p.
Le groupe d'inertie sauvage, c'est le groupe de Galois de cette clôture
algébrique sur Q_P^mr.

Ah, euh, ce que l'on appelle un corps local de caractéristique mixte, on
va dire que c'est Q_p ou une de ces extensions finies... enfin, non, mais
c'est une bonne approximation.