Connexité en dimension finie

[Anonyme]

Bonjour,

Une question surement bête ! Dans un R -espace vectoriel E de dimension
finie, les seuls ouverts et fermés sont E et l'ensemble vide ? Est-ce vrai
et si oui pourquoi?

Je cherche un démonstration compréhensible en Maths spé PSI. J'ai trouvé çà
dans un livre sans justificatifs et je n'arrive pas à le justifier.

Merci d'avance pour toutes explications

[Anonyme]

dominique a écrit :
> Bonjour,
>
> Une question surement bête ! Dans un R -espace vectoriel E de dimension
> finie, les seuls ouverts et fermés sont E et l'ensemble vide ? Est-ce vrai
> et si oui pourquoi?

oui car E est connexe (par arc)

>
> Je cherche un démonstration compréhensible en Maths spé PSI. J'ai trouvé çà
> dans un livre sans justificatifs et je n'arrive pas à le justifier.

Prends A et son complémentaire CA dans E et suppose que les 2 sont
ouverts (A est ouvert et fermé)
Prends x dans A et y dans CA et considère {tx+(1-t)y, 0<=t<=1} le
segment [x,y]
Considère t0=sup t tel que tx+(1-t)y est dans A
t0x+(1-t0)y est encore dans A car A est fermé
Mais A est ouvert donc il y a une boule autour de t0x+(1-t0)y qui est
dans A. D'où une absurdité.
Je te laisse peaufiner la démonstration...

[Anonyme]

"Nougy" a écrit

> Prends A et son complémentaire CA dans E et suppose que les 2 sont
> ouverts (A est ouvert et fermé)
> Prends x dans A et y dans CA et considère {tx+(1-t)y, 0 segment [x,y]
> Considère t0=sup t tel que tx+(1-t)y est dans A
> t0x+(1-t0)y est encore dans A car A est fermé
> Mais A est ouvert donc il y a une boule autour de t0x+(1-t0)y qui est
> dans A. D'où une absurdité.

Variante :
Avec les notations ci-dessus :
Soit f : [0,1] -> E, définie par f(t) = tx + (1 - t )y ; f est
continue.
Soit g : E -> R définie par g(z)=0 si z est dans A et g(z) = 1 sinon.
La fonction g est continue car l'image réciproque de toute partie de R
est soit vide, soit R, soit A soit CA, tous quatre ouverts par
hypothèse.
Alors, gof est une fonction de [0,1] dans R, continue comme comme
composée de deux fonctions continues, qui ne peut prendre que les
valeurs 0 et 1, et qui les prend effectivement puisque gof(0) = 0 et
gof(1) = 1.
Ceci contredit le théorème des valeurs intermédiaires.


Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Merci ! effectivement c'est clair !
"Nougy" a écrit dans le message de news:
424c8cfe$0$2861$626a14ce@news.free.fr...
> dominique a écrit :[color=green]
>> Bonjour,
>>
>> Une question surement bête ! Dans un R -espace vectoriel E de dimension
>> finie, les seuls ouverts et fermés sont E et l'ensemble vide ? Est-ce
>> vrai et si oui pourquoi?
>
> oui car E est connexe (par arc)
>
>>
>> Je cherche un démonstration compréhensible en Maths spé PSI. J'ai trouvé
>> çà dans un livre sans justificatifs et je n'arrive pas à le justifier.
>
> Prends A et son complémentaire CA dans E et suppose que les 2 sont ouverts
> (A est ouvert et fermé)
> Prends x dans A et y dans CA et considère {tx+(1-t)y, 0 [x,y]
> Considère t0=sup t tel que tx+(1-t)y est dans A
> t0x+(1-t0)y est encore dans A car A est fermé
> Mais A est ouvert donc il y a une boule autour de t0x+(1-t0)y qui est dans
> A. D'où une absurdité.
> Je te laisse peaufiner la démonstration...[/color]