Connexes

[Anonyme]

Bonjour

Un singleton est-il connexe ?

Merci,

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

On Fri, 28 Nov 2003 16:07:46 +0100, Pierre Capdevila
wrote:
>Bonjour
>
>Un singleton est-il connexe ?
Oui, pourquoi ? En tout cas, il est clair qu'il est connexe
par arcs. Vu que connexe par arcs => connexe...
Sinon, par définition, connexe ssi toute partition de
ton ensemble en deux ouverts (ou deux fermés) est une partition
triviale (X et l'ensemble vide). Essaie-donc de partitionner
un singleton...

--
Frédéric

[Anonyme]

Frederic
> Oui, pourquoi ?

Je te remercie de ta réponse.

Je pose cette question car elle entre en conflit avec
une proposition de mon cours, qui est :

Si (X, d) est un e.m. avec X fini, alors toute partie de
X est à la fois ouverte et fermée, donc non connexe.

Mais je pense qu'il faut préciser toute partie autre
que Ø et qu'un singleton ?


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

> Si (X, d) est un e.m. avec X fini, alors toute partie de
> X est à la fois ouverte et fermée, donc non connexe.
>
> Mais je pense qu'il faut préciser toute partie autre
> que Ø et qu'un singleton ?
>

J'imagine que dans ton cours d doit être la métrique discrète, donc la
proposition est correcte telle quelle (toute partie étant ouverte, toute
partie est aussi fermée). Sinon, c'est évidemment faux (je prends la
topologie grossière sur {0}, alors {0}n'est ni ouvert ni fermé).

[Anonyme]

Julien Santini a écrit

> J'imagine que dans ton cours d doit être la métrique discrète, donc la
> proposition est correcte telle quelle (toute partie étant ouverte, toute
> partie est aussi fermée). Sinon, c'est évidemment faux (je prends la
> topologie grossière sur {0}, alors {0}n'est ni ouvert ni fermé).

Je ne connais pas le terme "métrique discrète".

Prenons par exemple l'espace métrique (IR, d) où d
est la distance habituelle sur IR et soit P une partie
finie de IR.

Par exemple P = {0, 1, 2}

Alors toute partie de P est un ouvert et un fermé de
l'espace métrique induit (P, d)

Ceci est vrai également si au lieu de prendre IR on prend
directement un ensemble X fini.

Sauf erreur bien sûr

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

> Je ne connais pas le terme "métrique discrète".

C'est la métrique définie par d(x,y) = 1 si xy et 0 sinon.
La topologie associée est l'ensemble des parties de ton ensemble de départ
(en clair toute partie est ouverte car [tout point est ouvert et toute
partie est réunion de points], et toute partie est fermée puisque son
complémentaire est ouvert).

> Prenons par exemple l'espace métrique (IR, d) où d
> est la distance habituelle sur IR et soit P une partie
> finie de IR.
>
> Par exemple P = {0, 1, 2}
>
> Alors toute partie de P est un ouvert et un fermé de
> l'espace métrique induit (P, d)
>

Oui. La distance induite d est topologiquement équivalente à la distance
discrète.

> Ceci est vrai également si au lieu de prendre IR on prend
> directement un ensemble X fini.
>
> Sauf erreur bien sûr
>

Que veux-tu dire là ?

[Anonyme]

"Julien Santini" , dans le message (fr.education.entraide.maths:51468),
a écrit :
> J'imagine que dans ton cours d doit être la métrique discrète, donc la
> proposition est correcte telle quelle (toute partie étant ouverte, toute
> partie est aussi fermée).

Sur un ensemble fini, toute distance induit la topologie discrète
puisque par définition d(x,y)>0 dès que x != y. Donc, si on prend x
dans l'ensemble, il va exister eps tel que d(x,y)<eps pour tout y
différent de x.

[Anonyme]

Julien Santini a écrit :
> J'imagine que dans ton cours d doit être la métrique discrète, donc la
> proposition est correcte telle quelle (toute partie étant ouverte, toute
> partie est aussi fermée). Sinon, c'est évidemment faux (je prends la
> topologie grossière sur {0}, alors {0}n'est ni ouvert ni fermé).

{0} est ouvert et fermé pour toute topologie sur {0}, car une topologie
doit contenir l'espace entier. Le problème est qu'un singleton reste
connexe, mais il suffit de se restreindre, dans la proposition, à dire
"toute partie est ouverte et fermée" : l'oeil attentif verra bien si la
non-connexité suit le mouvement, selon le nombre d'éléments (0, 1 ou
plus) dans X.
Ou encore on pourra dire que la topologie sur tout espace métrique fini
est la topo discrète (car tous les singletons sont ouverts).

Bref ça n'a rien de bien passionant ces espaces, à premiere vue...

--
Nico.