Intervalles et parties connexes de lR

[Anonyme]

Bonjour.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi tout intervalle de lR est
connexe ?
(la réciproque ne me pose pas de problème).
Merci.

[Anonyme]

"M." a écrit dans le message de news:
mn.b41b7d55f0f8e147.31576@nospam...
> Bonjour.
> Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi tout intervalle de lR est
> connexe ?
> (la réciproque ne me pose pas de problème).
> Merci.

Un intervalle c'est un ensemble {t | a<t<=b} par exemple. Si x et y sont
dedans, il suffit de montrer que ux+(1-u)y aussi...

[Anonyme]

Cyberchand avait prétendu :
> Un intervalle c'est un ensemble {t | a dedans, il suffit de montrer que ux+(1-u)y aussi...

Je n'ai rien compris.

[Anonyme]

Salut,

> Bonjour.
> Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi tout intervalle de lR est
> connexe ?
> (la réciproque ne me pose pas de problème).
> Merci.
>

Il te faut revenir à la définition d'un intervalle pour un minimum
d'honnêteté (sinon tu peux carrément dire que tout intervalle est connexe
car connexe par arcs car l'identité relie continûment deux points d'un
intervalle, le hic c'est que pour montrer connexe par arcs => connexe on
utilise la connexité des intervalles).

Soit I un intervalle de R (i.e pour tout (a,b) dans I^2, et tout t dans
[0,1], a*t+b*(1-t) est dans I). Soient E et F deux ensembles fermés, non
vides et disjoints de I tels que I = E U F. Soit x dans E et y dans F, on
peut supposer x p}). On a alors p < q (car q est dans F puisque
F est fermé). Mais alors (p+q)/2 est dans I, mais n'est ni dans E ni dans F,
absurde.

--
Julien Santini

[Anonyme]

> exemple. Si x et y sont[color=green]
>> dedans, il suffit de montrer que ux+(1-u)y aussi...
>[/color]

C'est précisément la définition d'un intervalle (c'est un convexe de R).
Toutefois, pour prouver qu'un convexe est connexe (car connexe par arcs) on
utilise la connexité des intervalles de R.

--
Julien Santini

[Anonyme]

Julien Santini a formulé la demande :
> Soit I un intervalle de R (i.e pour tout (a,b) dans I^2, et tout t dans
> [0,1], a*t+b*(1-t) est dans I). Soient E et F deux ensembles fermés, non
> vides et disjoints de I tels que I = E U F. Soit x dans E et y dans F, on
> peut supposer x est dans E. Aussi, p alors q = inf({a dans F; a > p}). On a alors p F est fermé). Mais alors (p+q)/2 est dans I, mais n'est ni dans E ni dans F,
> absurde.

Merci.