[newbie] boole : A ou (A et B) = A et (A ou B) = A ?

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Une petite recherche sur ce groupe ne m'ayant pas donné de réponse
(peut-être en raison des nombreuses notations possibles), je pose ma
question :

En cherchant à résoudre un exo d'algèbre booléenne, je me suis aperçu que :

A ou (A et B) = A et (A ou B) = A

Je le vérifie bien par les tables de vérité, mais je n'arrive pas à le
démontrer par calcul - donc à comprendre pourquoi-, je tourne en rond et
ça m'énerve

(bon, ok, je suis grand débutant en algèbre booléenne, ça fait 20 ans
que je n'ai pas fait de maths, et j'ai arrêté en seconde, mais quand
même... je devrais y arriver, non ?)

Quelqu'un peut-il m'expliquer le comment du pourquoi de la chose, ou au
moins (ou mieux ?) me donner une piste - ou si c'est moi qui délire, me
le signaler ?

D'avance merci.
Bruno

[Anonyme]

Bruno Desthuilliers a écrit
> En cherchant à résoudre un exo d'algèbre
> booléenne, je me suis aperçu que :
> A ou (A et B) = A et (A ou B) = A

Je suppose que dans ces notations A et B
sont des propositions logiques ?

Dans ce cas la proposition "A ou (A et B)"
est vraie si A est vraie ou si "A et B" est vraie.

Cette dernière est vraie si A est vraie et si B
est vraie. Donc il faut toujours que A soit vraie.

Réciproquement, si A est vraie, alors la
proposition "A ou (A et B)" est vraie.

Voilà, tu raisonnes pareil pour "A et (A ou B)"

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Bruno Desthuilliers a écrit:
>
> En cherchant à résoudre un exo d'algèbre booléenne, je me suis aperçu que :
> A ou (A et B) = A et (A ou B) = A
>
> Je le vérifie bien par les tables de vérité, mais je n'arrive pas à le
> démontrer par calcul - donc à comprendre pourquoi-, je tourne en rond et
> ça m'énerve
>

Salut,
Comme je ne me souvenais plus des axiomes definissant une algèbre de
boole, j'ai googlé : axiomes algebre boole
ca m'a donné http://www.lifl.fr/~simplot/ens/archi/boole.html
qui demontre tes relations a partir des seuls axiomes.
La méthode "intuitive" de Pierre me plais quand meme mieux que des
calculs "a la Bourbaki"
--
chephip at free point fr

[Anonyme]

chephip wrote:
> Bruno Desthuilliers a écrit:
>[color=green]
>>
>> En cherchant à résoudre un exo d'algèbre booléenne, je me suis aperçu
>> que :
>> A ou (A et B) = A et (A ou B) = A
>>
>> Je le vérifie bien par les tables de vérité, mais je n'arrive pas à le
>> démontrer par calcul - donc à comprendre pourquoi-, je tourne en rond
>> et ça m'énerve
>>
>
> Salut,
> Comme je ne me souvenais plus des axiomes definissant une algèbre de
> boole, j'ai googlé : axiomes algebre boole
> ca m'a donné http://www.lifl.fr/~simplot/ens/archi/boole.html
> qui demontre tes relations a partir des seuls axiomes.[/color]

Yes ! Super, exactement ce que je cherchais.

Ok, le truc était donc de faire intervenir 'Faux' comme élément neutre
pour transformer A en (A ou Faux). Je n'y avais pas pensé... A partir de
là, effectivement, ça s'enchaine tout seul.

Pour ceux que ça intéresse :

f = A and (A or B)
= (A or 0) and (A or B)# O est élément neutre pour OU, donc A = A or 0
= A or (0 and B) # distributivité
= A or 0 # 0 est absorbant pour ET, donc (B and 0) = 0
= A # O est élément neutre pour OU, donc A or 0 = A

Comme on peut montrer par calcul que A and (A or B) = A or (A and B), la
boucle est bouclée.

> La méthode "intuitive" de Pierre me plais quand meme mieux que des
> calculs "a la Bourbaki"

Tiens, c'est curieux, pour ma part je comprends mieux avec le calcul
qu'avec la démonstration de Pierre !-) Comme quoi chacun a sa façon de
fonctionner...

Merci beaucoup chephip, et merci à Pierre aussi. Grâce à vous, je vais
pouvoir dormir cette nuit !-)

Bruno

[Anonyme]

Si c'est l'aspect calculatoire qui t'intéresse, le mieux
est l'algèbre de Boole vue par les électroniciens, ou
les informaticiens. Voici les conventions :

Les variables booléennes peuvent prendre les valeurs
0 ou 1.

L'inverse de 0 est 1 et l'inverse de 1 est 0

On définit entre les variables booléennes une addition
dont la table est :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1

Une multiplication :
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1

On remarque que ces opérations sont commutatives. De
plus par définition l'addition est distributive pour l'addition
et vice versa.

Ces définitions montrent que pour toute variable a (qui vaut
0 ou 1) on a toujours :

0 + a = a
1 + a = 1
0 * a = 0
1 * a = a
a * a = a

Les variables booléennes représentent en fait des parties d'un ensemble,
l'addition représente la réunion et la multiplication représente
l'intersection. L'inverse représente le complémentaire d'une partie.

Ou en core les variables booléennes représentent des propositions logiques,
l'addition représente le ou logique et la multiplication représente le et
logique. L'inverse représente le contraire d'une proposition.

La mise en équation de ton problème est :

a + a*b = a* (1 + a) = a*1 = a

a*(a + b) = a*a + a*b = a + a*b

Voilà, j'espère t'avoir aidé.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

On Sun, 09 Nov 2003 00:16:05 +0100, Bruno Desthuilliers wrote:

> Bonjour à tous,

> Une petite recherche sur ce groupe ne m'ayant pas donné de réponse
> (peut-être en raison des nombreuses notations possibles), je pose ma
> question :

> En cherchant à résoudre un exo d'algèbre booléenne, je me suis aperçu que :
>
> A ou (A et B) = A et (A ou B) = A

> Je le vérifie bien par les tables de vérité, mais je n'arrive pas à le
> démontrer par calcul - donc à comprendre pourquoi-, je tourne en rond et
> ça m'énerve

Tu peux aussi essayer avec les diagrammes de Venn, c'est efficace.

nicolas patrois : pts noir asocial
--
GLOU-GLOU

P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !

[Anonyme]

Pierre Capdevila wrote:
> Si c'est l'aspect calculatoire qui t'intéresse, le mieux
> est l'algèbre de Boole vue par les électroniciens, ou
> les informaticiens.

Devine pourquoi je fais de l'algèbre de Boole à mon age ?-)

(snip conventions et bases de la logique booléenne)

>
> La mise en équation de ton problème est :
>
> a + a*b = a* (1 + a) = a*1 = a

Un peu condensé, mais c'est bien ça...

> a*(a + b) = a*a + a*b = a + a*b

Celui là, je l'avais déjà trouvé (en cherchant le premier).

En fait, je n'avais juste pas pensé qu'on pouvait utiliser l'absorption
pour *ajouter* un élément (ici 1 ou 0) à la forme propositionnelle, et
s'en servir pour se 'débarrasser' d'un autre élément (désolé pour les
termes fort peu mathématiques).

> Voilà, j'espère t'avoir aidé.
En l'occurrence pas directement puisque chephip m'avait trouvé le lien
ad hoc, mais n'en prend pas ombrage !-), je te suis tout de même
reconnaissant d'avoir pris le temps d'éclairer ma lanterne (et
probablement celle d'autres qui chercheront ce type d'infos par la suite).

Merci
Bruno

[Anonyme]

nicolas wrote in message news:...
> On Sun, 09 Nov 2003 00:16:05 +0100, Bruno Desthuilliers wrote:
>[color=green]
> > Bonjour à tous,
>
> > Une petite recherche sur ce groupe ne m'ayant pas donné de réponse
> > (peut-être en raison des nombreuses notations possibles), je pose ma
> > question :
>
> > En cherchant à résoudre un exo d'algèbre booléenne, je me suis aperçu que :
> >
> > A ou (A et B) = A et (A ou B) = A
>
> > Je le vérifie bien par les tables de vérité, mais je n'arrive pas à le
> > démontrer par calcul - donc à comprendre pourquoi-, je tourne en rond et
> > ça m'énerve
>
> Tu peux aussi essayer avec les diagrammes de Venn, c'est efficace.
>[/color]


Si A et B sont des parties d'un certain ensemble E ,

A union (A inter B) = A inter (A union B) = A

(facile à vérifier)

> nicolas patrois : pts noir asocial