Analyse, integrabilite...

[Anonyme]

Hello!

Demain j'ai exam d'analyse (taux de réussite approximatif: 15%, ça
craint) et bref, je me demandais si quelqu'un savais me pister pour
résoudre ça:

Soit f : ]0;1[ -> R, continue
Soit h : ]0;1[x]0;1[ -> R : (x,y) -> f(x) - f(y)
Si on suppose \int_{]0;1[x]0;1[} |h(x,y)| dx dy < +oo
Montrer que \int_{]0;1[} |f(x)| dx < +oo

J'ai du mal à voir l'importance de la continuité de la fonction, j'ai
bien tenté d'écrire la condition de cauchy mais j'ai aussi du mal à voir
l'intérêt.
Sinon ben on s'est mis à 4 là dessus, et... rien! Bon on n'était peut
être plus en état de réfléchir mais quand même, on se sent débile.

Merci d'avance de vos conseils...

--
Nico.

[Anonyme]

j'ai pas résolu l'exo mais a priori il faut raisonner par l'absurde : f
étant continue sur l'ouvert ]0,1[, si l'intégrale de sa valeur absolue était
infinie, elle admettrait nécessairement une branche infinie en 0 ou1. A
partir de la essaie de réinjecter cette condition dans l'intégrale de |h|
qui est finie par hypothèse et tente d'aboutir à une contradiction.


"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news: 4001921C.4E67C36F@yahoo.fr...
> Hello!
>
> Demain j'ai exam d'analyse (taux de réussite approximatif: 15%, ça
> craint) et bref, je me demandais si quelqu'un savais me pister pour
> résoudre ça:
>
> Soit f : ]0;1[ -> R, continue
> Soit h : ]0;1[x]0;1[ -> R : (x,y) -> f(x) - f(y)
> Si on suppose \int_{]0;1[x]0;1[} |h(x,y)| dx dy Montrer que \int_{]0;1[} |f(x)| dx
> J'ai du mal à voir l'importance de la continuité de la fonction, j'ai
> bien tenté d'écrire la condition de cauchy mais j'ai aussi du mal à voir
> l'intérêt.
> Sinon ben on s'est mis à 4 là dessus, et... rien! Bon on n'était peut
> être plus en état de réfléchir mais quand même, on se sent débile.
>
> Merci d'avance de vos conseils...
>
> --
> Nico.

[Anonyme]

"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news: 4001921C.4E67C36F@yahoo.fr...
> Hello!
>
> Demain j'ai exam d'analyse (taux de réussite approximatif: 15%, ça
> craint) et bref, je me demandais si quelqu'un savais me pister pour
> résoudre ça:
>
> Soit f : ]0;1[ -> R, continue
> Soit h : ]0;1[x]0;1[ -> R : (x,y) -> f(x) - f(y)
> Si on suppose \int_{]0;1[x]0;1[} |h(x,y)| dx dy Montrer que \int_{]0;1[} |f(x)| dx

La continuité de f ne sert pas

L'intégrale double de |h| sur le carré est finie, donc d'après le théorème
de Fubini, pour presque tout x dans ]0,1[, \int_{]0,1[}|h(x,y)| dy est
finie. C'est donc vrai pour au moins un x0
On a donc : int_{]0,1[} |f(x0)-f(y)|dy<+inf, donc d'après l'inégalité
triangulaire int_{]0,1[} |f(y)|dy<+inf

[Anonyme]

FDH a écrit :
> La continuité de f ne sert pas

On s'en doutait...

> L'intégrale double de |h| sur le carré est finie, donc d'après le théorème
> de Fubini, pour presque tout x dans ]0,1[, \int_{]0,1[}|h(x,y)| dy est
> finie. C'est donc vrai pour au moins un x0

Argh, c'est donc si simple que ça? Et dire qu'on a retourné l'intégrale
double dans tout les sens, au lieu d'aller droit au but avec un des
*autre* résultat du théorème...

Enfin, merci beaucoup

--
Nico.

[Anonyme]

>
> La continuité de f ne sert pas

si elle sert car, au niveau deug, on ne sait définir que l'intégration sur
des fonctions continues. C'est en licence que l'on introduit les fonctions
mesurables

[Anonyme]

masterbech a écrit :
>[color=green]
> >
> > La continuité de f ne sert pas
>
> si elle sert car, au niveau deug, on ne sait définir que l'intégration sur
> des fonctions continues. C'est en licence que l'on introduit les fonctions
> mesurables[/color]

Bon je dois avouer que je ne mets jamais mon niveau, ne sachant pas quoi
mettre! Je mettrais bien [1ere lic] mais ça ne veut sans doute pas dire
grand chose pour la plupart des lecteurs, puisqu'il s'agit d'une 3e
année de "licence en math" en belgique, avec certainement des
différences de nomenclature, de programme et compagnie...
Quoiqu'il en soit, la continuité ne servait donc pas, c'était sans doute
juste une façon "originale" de parler de fonction mesurable.

A part ça, mon exam s'est pas trop mal passé, merci (mieux que pour
mes camarades en tout cas, d'après la réunion d'après-match)

--
Nico.