5,123123123...est un rationnel??

[Anonyme]

Bonjour,

Je cherche à aider mon gamin, mes mes souvenirs sont très loins.
Pourriez vous m'aider?

Démontrer que 5,123123123... est un rationnel.
Ecrire 5,123123123... sous forme d'un efraction irréductible.

Pour ceci s'appuyer sur un exercice précédent ou l'on disait:
Soit x=0,12121212...
a) Calculer 100x
b) En déduire 99x sous forme d'un entier naturel.
c) En déduire que x est un rationnel et écrire x sous forme d'une fraction
irréductible.

Merci

[Anonyme]

"Jean claude" a écrit dans le message de news:
XnF93F9DF6B17AFFjeanclaudegauthierfr@193.252.19.141...
> Bonjour,
>
> Je cherche à aider mon gamin, mes mes souvenirs sont très loins.
> Pourriez vous m'aider?
>
> Démontrer que 5,123123123... est un rationnel.
> Ecrire 5,123123123... sous forme d'un efraction irréductible.
>
> Pour ceci s'appuyer sur un exercice précédent ou l'on disait:
> Soit x=0,12121212...
> a) Calculer 100x
> b) En déduire 99x sous forme d'un entier naturel.
> c) En déduire que x est un rationnel et écrire x sous forme d'une
fraction
> irréductible.
>
> Merci


x=0.123123123
1000*x=123+x cqfd

[Anonyme]

Bonjour;

Tout d'abord, il faut remarquer que :
5,123123... = 5+0,123123...

5 étant rationnel, il faut et il suffit de montrer que 0,123123... est un
rationnel.

Je ne sais pas quel est le niveau de votre fils mais il y a 2 demos
possibles :

# Comme dans l'exercice (Mais pas très rigoureux)
Soit x = 0,123123...
1000*x = 123,123123...
D'où on a 999*x = 1000*x - x = 123
Soit finalement x = 123/999
CQFD

# Avec des séries (Démonstration beaucoup plus rigoureuse)

Tout d'abord on écrit que x = 0,123123... = 123*0,001 + 123*0,000001
+ 123*0,000000001 + ....
Soit sous forme de série ( ie d'une somme infinie de termes )

k=inf k=inf
_ _
\ \
1000^(-1) 1 123
x = /_ 123 * 1000^(-k) = 123* /_ 1000^(-k) =
123* --------------- = 123* ---------- = -----
k=1 k=1
1 - 1000^-1 999 999


Rq : On utilise ici le résultat sur les séries géométrique de raison a écrit dans le message news:
XnF93F9DF6B17AFFjeanclaudegauthierfr@193.252.19.141...
> Bonjour,
>
> Je cherche à aider mon gamin, mes mes souvenirs sont très loins.
> Pourriez vous m'aider?
>
> Démontrer que 5,123123123... est un rationnel.
> Ecrire 5,123123123... sous forme d'un efraction irréductible.
>
> Pour ceci s'appuyer sur un exercice précédent ou l'on disait:
> Soit x=0,12121212...
> a) Calculer 100x
> b) En déduire 99x sous forme d'un entier naturel.
> c) En déduire que x est un rationnel et écrire x sous forme d'une
fraction
> irréductible.
>
> Merci