Problème de compréhension d'exercice nb rationnel

[Anonyme]

Bonjour à tous

Voilà j'aurais besoin d'un petit coup de main pour résoudre un exercice
auquel je ne comprend rien du tout.

D'avance merci

exercice :

On se propose de démontrer que : racine de2 n'est pas un nb rationnel

On suppose le contraire, c'est à dire que racine de 2 est un rationnel
Cela revient à dire qu'il existe a et b entiers (b différent de 0) tels que
: racine de 2 = a/b

On peut supposer que a/b est une fraction irréductible (c'est à dire qu'on
ne peut plus la simplifier)

En enlevant au carré les deux nombres de l'égalité, il vient 2= a²/b² soit
encore a² = 2b²

Cherchons à mettre en évidence une absurdité à partir de cette égalité

1)
a) compléter le tableau suivant :

le dernier chiffre de a peut être : 0 1 2 3 4 5 6 7
8 9
Le dernier chiffre de a² est alors : _ _ _ _ _ _ _ _
_ _

b) De façon analogue, compléter le tableau suivant :

le dernier chiffre de b peut être : _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _
le dernier chiffre de b² est alors : _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _
le dernier chiffre de 2b² est alors :_ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _

c) entourer en rouge les chiffres qui conviennent et barrer ceux qui ne
conviennent pas :

le dernier chiffre de a² peut être : 0 1 2 3 4 5 6
7 8 9
le dernier chiffre de 2b² peut être : 0 1 2 3 4 5 6
7 8 9


2) Sachant que a²=2b², par quel chiffre se terminent a² et b² ?
a ne peut se terminer que par ______
b ne peut se terminer que __________ ou par ___________

Quel contradiction met on en évidence ?
En déduire que racine de 2 ne peut pas être rationnel.

[Anonyme]

Am 7/09/03 13:08, sagte Damien (dam.mail@wanadoo.fr) :

> Bonjour à tous
>
> Voilà j'aurais besoin d'un petit coup de main pour résoudre un exercice
> auquel je ne comprend rien du tout.
>
> D'avance merci


t'es gentil mais on va pas te faire ton exo directement donc si tu espère
des réponses foisonnantes donnes nous plutot ton niveau (2de je suppose) et
ce que t'as déjà fait (rien pour le moment, mais tu vas t'y mettre)


albert

--

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[Anonyme]

"Damien" a écrit dans le message de
news:bjf3hh$jai$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonjour à tous
>
> Voilà j'aurais besoin d'un petit coup de main pour résoudre un exercice
> auquel je ne comprend rien du tout.
>
> D'avance merci
>
> exercice :
>
> On se propose de démontrer que : racine de2 n'est pas un nb rationnel
>
> On suppose le contraire, c'est à dire que racine de 2 est un rationnel
> Cela revient à dire qu'il existe a et b entiers (b différent de 0) tels
que
> : racine de 2 = a/b
>
> On peut supposer que a/b est une fraction irréductible (c'est à dire qu'on
> ne peut plus la simplifier)
>
> En enlevant au carré les deux nombres de l'égalité, il vient 2= a²/b² soit
> encore a² = 2b²
>
> Cherchons à mettre en évidence une absurdité à partir de cette égalité
>
> 1)
> a) compléter le tableau suivant :
>
> le dernier chiffre de a peut être : 0 1 2 3 4 5 6 7
> 8 9
> Le dernier chiffre de a² est alors : _ _ _ _ _ _ _ _
> _ _
>
> b) De façon analogue, compléter le tableau suivant :
>
> le dernier chiffre de b peut être : _ _ _ _ _ _ _ _
> _ _ _
> le dernier chiffre de b² est alors : _ _ _ _ _ _ _ _
> _ _ _
> le dernier chiffre de 2b² est alors :_ _ _ _ _ _ _ _
> _ _ _
>
> c) entourer en rouge les chiffres qui conviennent et barrer ceux qui ne
> conviennent pas :
>
> le dernier chiffre de a² peut être : 0 1 2 3 4 5 6
> 7 8 9
> le dernier chiffre de 2b² peut être : 0 1 2 3 4 5 6
> 7 8 9
>
>
> 2) Sachant que a²=2b², par quel chiffre se terminent a² et b² ?
> a ne peut se terminer que par ______
> b ne peut se terminer que __________ ou par ___________
>
> Quel contradiction met on en évidence ?
> En déduire que racine de 2 ne peut pas être rationnel.

Il faut d'abord comprendre qu'on appelle "nombre rationnel" un nombre qui
peut s'écrire sous forme de fraction a/b (bdifférend de 0)
Par exemple 12 est rationnel car 12=12/1 ou 24/2 etc...
D'autre part si on a l'égalité X=Y on peut élever chaque membre au carré et
obtenir X²=Y² dans l'ensemble des nombres réels en genéral.

Bref, si (racine de 2) était rationnel on peut écrire
(racine de 2)= a/b ou (racine de 2)² = (a/b)²
Or (racine de 2)² = 2 , et (a/b)² = a²/b²
Donc : 2 = a²/b² (comme X²=Y² ci-dessus)

et en multipliant par b² les deux membres , on obtient 2b²=a² (ou a²=2b²)
;

Dans 1)a) : on suppose évidemment que a est entier , si c'est le cas ça ne
peut être qu'un nombre qui se termine par 0,1,2 ....,9 (par exemple a=17 ;
or le carré de 17 doit se terminer forcément par 9 (à cause de 7²=49).
De même le carré de 134 doit se terminer par 6 (car 4²=16) etc....

_________________

Je pense qu'à partir de là tout ira bien.

[Anonyme]

> t'es gentil mais on va pas te faire ton exo directement donc si tu espère
> des réponses foisonnantes donnes nous plutot ton niveau (2de je suppose)
et
> ce que t'as déjà fait (rien pour le moment, mais tu vas t'y mettre)
>
>
> albert

Loin de moi cette idée Albert j'espérais juste un petit coup de main...

Bon voilà j'ai bossé et j'ai réussi (je crois) tous les exercices sauf la
fin (le bilan)
où là, je sèche vraiment...

2) Sachant que a²=2b², par quel chiffre se terminent a² et b² ?
a ne peut se terminer que par ______
b ne peut se terminer que __________ ou par ___________

Quel contradiction met on en évidence ?
En déduire que racine de 2 ne peut pas être rationnel.


D'avance merci
(tu as bien vu je suis bien en 2nd)

Damien

[Anonyme]

Merci beaucoup grâce à toi j'ai pratiquement tout réussi
Vraiment merci !

Damien

"hh" a écrit dans le message de news:
bjf6hq$15r$1@news-reader3.wanadoo.fr...
>
> "Damien" a écrit dans le message de
> news:bjf3hh$jai$1@news-reader4.wanadoo.fr...[color=green]
> > Bonjour à tous
> >
> > Voilà j'aurais besoin d'un petit coup de main pour résoudre un exercice
> > auquel je ne comprend rien du tout.
> >
> > D'avance merci
> >
> > exercice :
> >
> > On se propose de démontrer que : racine de2 n'est pas un nb rationnel
> >
> > On suppose le contraire, c'est à dire que racine de 2 est un rationnel
> > Cela revient à dire qu'il existe a et b entiers (b différent de 0) tels
> que
> > : racine de 2 = a/b
> >
> > On peut supposer que a/b est une fraction irréductible (c'est à dire[/color]
qu'on[color=green]
> > ne peut plus la simplifier)
> >
> > En enlevant au carré les deux nombres de l'égalité, il vient 2= a²/b²[/color]
soit[color=green]
> > encore a² = 2b²
> >
> > Cherchons à mettre en évidence une absurdité à partir de cette égalité
> >
> > 1)
> > a) compléter le tableau suivant :
> >
> > le dernier chiffre de a peut être : 0 1 2 3 4 5 6[/color]
7[color=green]
> > 8 9
> > Le dernier chiffre de a² est alors : _ _ _ _ _ _ _[/color]
_[color=green]
> > _ _
> >
> > b) De façon analogue, compléter le tableau suivant :
> >
> > le dernier chiffre de b peut être : _ _ _ _ _ _ _ _
> > _ _ _
> > le dernier chiffre de b² est alors : _ _ _ _ _ _ _[/color]
_[color=green]
> > _ _ _
> > le dernier chiffre de 2b² est alors :_ _ _ _ _ _ _[/color]
_[color=green]
> > _ _ _
> >
> > c) entourer en rouge les chiffres qui conviennent et barrer ceux qui ne
> > conviennent pas :
> >
> > le dernier chiffre de a² peut être : 0 1 2 3 4 5[/color]
6[color=green]
> > 7 8 9
> > le dernier chiffre de 2b² peut être : 0 1 2 3 4 5[/color]
6[color=green]
> > 7 8 9
> >
> >
> > 2) Sachant que a²=2b², par quel chiffre se terminent a² et b² ?
> > a ne peut se terminer que par ______
> > b ne peut se terminer que __________ ou par ___________
> >
> > Quel contradiction met on en évidence ?
> > En déduire que racine de 2 ne peut pas être rationnel.
>
> Il faut d'abord comprendre qu'on appelle "nombre rationnel" un nombre qui
> peut s'écrire sous forme de fraction a/b (bdifférend de 0)
> Par exemple 12 est rationnel car 12=12/1 ou 24/2 etc...
> D'autre part si on a l'égalité X=Y on peut élever chaque membre au carré[/color]
et
> obtenir X²=Y² dans l'ensemble des nombres réels en genéral.
>
> Bref, si (racine de 2) était rationnel on peut écrire
> (racine de 2)= a/b ou (racine de 2)² = (a/b)²
> Or (racine de 2)² = 2 , et (a/b)² = a²/b²
> Donc : 2 = a²/b² (comme X²=Y² ci-dessus)
>
> et en multipliant par b² les deux membres , on obtient 2b²=a² (ou
a²=2b²)
> ;
>
> Dans 1)a) : on suppose évidemment que a est entier , si c'est le cas ça ne
> peut être qu'un nombre qui se termine par 0,1,2 ....,9 (par exemple a=17 ;
> or le carré de 17 doit se terminer forcément par 9 (à cause de 7²=49).
> De même le carré de 134 doit se terminer par 6 (car 4²=16) etc....
>
> _________________
>
> Je pense qu'à partir de là tout ira bien.
>
>
>
>
>
>

[Anonyme]

au fait voilà ce que j'ai fait pour la première partie :

1)
a) compléter le tableau suivant :

le dernier chiffre de a peut être : 0 1 2 3 4 5 6
7 8 9
Le dernier chiffre de a² est alors :0 1 4 9 6 5 6
9 4 1

b) De façon analogue, compléter le tableau suivant :

le dernier chiffre de b peut être : 0 1 2 3 4 5 6
7 8 9
le dernier chiffre de b² est alors : 0 1 4 9 6 5 6
9 4 1
le dernier chiffre de 2b² est alors : 0 2 8 8 2 0 2
8 8 2

c) entourer en rouge les chiffres qui conviennent et barrer ceux qui ne
conviennent pas :

le dernier chiffre de a² peut être : 0 1 4 5 6 9
il ne peut pas être : 2 3 7 8

le dernier chiffre de 2b² peut être : 0 2 8
il ne peut pas être : 1 3 4 5 6 7 9

[Anonyme]

"Damien" a écrit
> au fait voilà ce que j'ai fait pour la première partie :
>
> 1)
> a) compléter le tableau suivant :
>
> le dernier chiffre de a peut être : 0 1 2 3 4 5 6
> 7 8 9
> Le dernier chiffre de a² est alors :0 1 4 9 6 5 6
> 9 4 1
>
> b) De façon analogue, compléter le tableau suivant :
>
> le dernier chiffre de b peut être : 0 1 2 3 4 5 6
> 7 8 9
> le dernier chiffre de b² est alors : 0 1 4 9 6 5 6
> 9 4 1
> le dernier chiffre de 2b² est alors : 0 2 8 8 2 0 2
> 8 8 2
>
> c) entourer en rouge les chiffres qui conviennent et barrer ceux qui ne
> conviennent pas :
>
> le dernier chiffre de a² peut être : 0 1 4 5 6 9
> il ne peut pas être : 2 3 7 8
>
> le dernier chiffre de 2b² peut être : 0 2 8
> il ne peut pas être : 1 3 4 5 6 7 9
>
Ca parait très bien!
Maintenant a²=2b²
a² et 2b² ont meme chiffre des unités. Conclusion?

Quels sont les chiffres des unités de a et b qui conduisent à ce chiffre des
unités ?
(Il suffit de relire ton tableau en remontant).