Une moyenne pondérée ? [Résolu]

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
acoustica
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Une moyenne pondérée ? [Résolu]

par acoustica » 28 Nov 2012, 19:54

Bonsoir,

Ce problème n'est pas à proprement parler un problème d'Olympiades, mais un problème que j'ai rencontré au détour d'un autre problème, et je pense que l'esprit du problème a sa place ici, puisqu'il n'y a pas besoin d'être un grand gourou des maths pour deviner qu'il y a potentiellement des inégalités classiques en jeu.

Alors voilà, je me retrouve avec un système de contraintes de la sorte :



où on a posé avec :

, ...,

et



et je serais bien heureux de pouvoir en déduire :

- Que lorsque n tend vers l'infini (puisque c'est l'objectif final de mon problème)

- De construire la suite en fonction de n, des pavés les plus restreints qui vérifient les contraintes indiquées.

Des idées pour démarrer ? (juste pour démarrer !)

Bonne soirée !



Matt_01
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par Matt_01 » 29 Nov 2012, 07:04

Ce serait pas l'inverse de xi plutot en exposant ?
En passant au log on a (n-xi) ln xi + somme des ln(xj) <= 0 ce qui serait évident car tous les termes sont négatifs.
Ainsi, dés que 1/xi <= n l'inegalité est vérifiée, soit xi >= 1/n.
On peut surement continuer à dire des trucs, j'reflechirai demain.

Matt_01
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par Matt_01 » 30 Nov 2012, 02:53

J'ai l'impression que les inégalités sont vérifiées pour x1=...=x_(n-1) et xn = 1/2, ce qui rendrait faut une quelconque conclusion. A revérifier.

acoustica
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par acoustica » 30 Nov 2012, 15:35

Bonjour Matt_01, merci pour tes réponses, et désolé de n'avoir pas pu répondre plus tôt.

Les inégalités sont bonnes, j'ai retourné le problème dans tous les sens. Si erreur il y a, c'est dans l'objectif que je me suis fixé, et comme tu dis, il semblerait qu'il y ait des problèmes. J'ai pu montrer que lorsqu'on sature les contraintes, tous les xi sont bien égaux, mais pas de limite à l'horizon.

Matt_01
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par Matt_01 » 30 Nov 2012, 20:35

Que veux-tu dire par "saturer les contraires" ?
Globalement j'ai pas trop compris ton message (si effectivement le cas que j'ai cité vérifie les contraintes, la conclusion est forcément fausse).

acoustica
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par acoustica » 01 Déc 2012, 13:29

Matt_01 a écrit:Que veux-tu dire par "saturer les contraires" ?
Globalement j'ai pas trop compris ton message (si effectivement le cas que j'ai cité vérifie les contraintes, la conclusion est forcément fausse).


J'entends par là trouver les cas d'égalité... Le terme est sans doute mal choisi, désolé.
J'ai retourné le problème dans tous les sens de mon côté, je suis parvenu à montrer quelques trucs qui me suffisent. Le problème que j'ai posé initialement, à savoir construire une suite de pavés, est sans doute trop difficile. Les points que tu as soulevés me persuadent de ne pas continuer là-dedans. Initialement je voulais généraliser un résultat dans le cas n=2, mais je crois que je vais abandonner l'idée. Merci en tout cas pour ton aide, ça m'a aidé.

 

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