Une histoire d'autoroute

[olivierl]

On décide de construire une autoroute d entre les villes A, B et C.
Chacun des maires des communes A, B et C doit minimiser le coût de la route reliant leur commune à l'autoroute.
Question :
Trouver la position de la droite d par rapport à A, B et C si on a dist(A,d) + dist(B,d) + dist(C,d) la plus petite possible.

Bonne route

[olivierl]

Petite précision: l'autoroute ne peut pas passer par une des trois villes.

[olivierl]

Arprès discussion sur un autre forum, il apparaît que ce problème est fort complexe sauf si on ajoute la contrainte suivante : "les distances villes/autoroute sont toutes égales"

[alben]

Bonjour,

Je ne pense que que ce problème soit très complexe.
On trace une droite D quelconque coupant le triangle ABC. Il y a obligatoirement deux points d'un coté et un seul de l'autre.
En déplaçant la droite D parallèlement à elle-même dans la direction des deux points, on s'éloigne du point unique d'une distance x mais on se rapproche d'autant de chacun des autres points. On a donc intérêt à continuer jusqu'à atteindre un des deux points.
Ensuite, si l'on pivote la droite, on voit que la somme des distances est minimale lorsqu'on fait passer la droite par l'un ou l'autre des points.
Autrement dit sans prendre en compte la contrainte que l'autoroute ne passe par aucune ville, la solution serait de la faire passer par la droite où se trouve le pied de la plus petite des hauteurs du triangle ABC.
L'introduction de la contrainte conduit à prendre une parallèle à cette droite, éloignée par exemple d'un Km (à préciser) ...