(a²+b²)/(ab+1)=n²

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 25 Oct 2009, 23:02

Zweig a écrit:Cet exercice est tiré des Olympiades Internationales de 1988 (par là) et il a fait une hécatombe cette année-là ...

C'est pas pour faire le guignol mais le raisonnement par l'absurde dans ce cas-là est quand même le premier réflexe à avoir non ?
De là le polynôme d'ordre 2 n'étais pas tellement difficile à trouver, tout comme l'étude de cas :hein:

Enfin bref.



lapras
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par lapras » 26 Oct 2009, 15:27

Franchement je suis de l'avis de zweig, vu qu'on connait la solution ca nous parait évident, c'est le principe d'un exo d'OIM. Mais je suis sur que si tu fais pour la 1ere fois un exo de ce type c'est tres difficile.
de plus en 1988 je suis pas sur que les relations coeffs/racines et tout étaient bien étudiées en classe. Maintenant qu'on a une préparation aux Olympiades (animath) on a pas mal de méthodes c'est beaucoup plus facile pour nous.

Timothé Lefebvre
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par Timothé Lefebvre » 26 Oct 2009, 15:31

Complètement d'accord, on est mieux préparés dans le sens où dès la lecture de l'énoncé notre panel de techniques potentiellement employables est beaucoup plus grand, grâce à la préparation d'Animath (entre autres).

seb16120
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Re: (a²+b²)/(ab+1)=n²

par seb16120 » 14 Mar 2017, 23:35

Existe-t-il une résolution graphique comme pour (a+b)²=a²+2ab+b² ?
http://www.noelshack.com/2017-11-1489527300-maths1.jpg

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Ben314
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Re: (a²+b²)/(ab+1)=n²

par Ben314 » 18 Mar 2017, 12:27

Salut,
Fondamentalement ça n'a vraiment, mais alors vraiment rien à voir l'un avec l'autre :

- Déjà (et de loin le plus important), la formule est tout le temps vrai alors que dans l'exercice, ce qu'on te demande de faire, c'est plus ou moins de résoudre une équation, c'est à dire de déterminer quels sont les a,b,c pour lesquels la relation est vrai.
Et exactement comme "Montrer que tout les chats sont gris" et "Trouver les chats gris", a mon sens, bien que les deux phrases aient "un air de ressemblance" les méthode/outils/vision du bidule employés dans les deux cas sont en général bien différentes (évidement, il y a des fois où, pour "Montrer qu'ils sont tous gris", on commence par "Trouver les gris" puis on vérifie qu'effectivement les "gris", c'est bien "tous", mais c'est souvent pas comme ça qu'on fait)

- Ensuite, la formule [u] elle est valable pour les entiers, pour les réels, pour les complexes (et pour pas mal d'autre choses) alors qu'évidement, l'énoncé de l'exercicie n'a de sens que pour des entiers : dire qu'un réel "divise" un autre réel, c'est sans le moindre intérêt : tout réel non nul divise tout autre réel. De même "être un carré", dans l'ensemble des réels, c'est pas super utile comme notion : tout les réels positifs sont des carrés.

Bref, ça a pas de rapport et en particulier le coté "entier" des variables (et le fait que certaines variables en divisent d'autres) je vois pas trop comment représenter ca sur un quelconque dessin (en tout cas pas de façon bien utilisable)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

vieuxpepe
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Re: (a²+b²)/(ab+1)=n²

par vieuxpepe » 16 Avr 2018, 18:37

Bonjour,
D'abord excusez-moi si je ne manipule pas le Latex (ce qui serait plus clair).
Je voudrais savoir s'il y a d'autres solutions que celle que je vous propose ci-dessous:
De (a^2+b^2)/(1+a*b)=k , avec a, b, k éléments de N+ .
On tire de cela : a^2+b^2=k+k*a*b.
Ce qui donne effectivement une équation du 2ième degré en b:
b^2-b*(a*k)-(k-a^2)=0 . Le discriminant est :delta=(a^2)*(k^2)+4*(k-a^2).
Pour avoir une solution (qui n'est pas la seule ...) pour b
qui soit entière, il suffit de faire k=a^2.
Ce qui implique que la solution différente de 0 est b=a*k, soit b=a^3.
On peut aussi avoir d'autres valeurs de k suivant ce type de solution
en prenant non plus a mais m*a, ce qui implique k=(m*a)^2, et donc
b=(m^2)*(a^3) avec m choisi entier.
Maintenant ceci n'est qu'un type de solution et il y en a peut-être
d'autres ...

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Ben314
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Re: (a²+b²)/(ab+1)=n²

par Ben314 » 16 Avr 2018, 20:33

Salut,
Déjà, ce que "tu propose", ça n'a rien d'une "solution" vu que ça ne prouve absolument rien.
Tu écrit que, pour que ça marche, il faut que soit un carré parfait : ça c'est vrai (mais pour le moment, on voit pas bien en quoi ça fait avancer le schmilblick)
Ensuite, tu "sort d'un chapeau" la condition , sauf que :
- Si alors je ne vois aucune raison particulière pour que soit un carré parfait (et c'est par exemple faux si et n'est pas un carré)
- Et réciproquement, je ne vois absolument pas pourquoi le fait soit un carré parfait impliquerais que pour un certain entier (et c'est par exemple faux si et alors que )
Bref, la condition , elle a que dalle à voir avec le problème.
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nodgim
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Re: (a²+b²)/(ab+1)=n²

par nodgim » 17 Avr 2018, 10:29

Quand on met de coté les solutions triviales (a,b) = (0,b) ou (a,0) ou (1,1), quand on a prouvé que a et b doivent être distincts dans les autres cas,, on trouve la série de solutions (a, a^3) ou (b^3, b) par l'écriture a²+b² = b/a ( ab+1) + a² - b/a.

Reste à voir s'il n'existe pas d'autres solutions....

vieuxpepe
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Re: (a²+b²)/(ab+1)=n²

par vieuxpepe » 17 Avr 2018, 11:35

Resalut Ben314,
et faisons plus explicite, je n'ai peut-être pas été assez pédagogue.
Reprenons donc.
Peut-être que ça ne "prouve" absolument rien mais ça marche quand même !
Le discriminant étant :delta=(a^2)*(k^2)+4*(k-a^2), une façon parmi d'autres pour avoir un carré,
il suffit d'annuler 4*(k-a^2), d'où k=a^2.
Dans ces conditions les racines de l'équation du 2ième précédente
sont donc: b=(a*k+a*k)/2 et (a*k-a*k)/2=0.
Ce qui implique que la solution différente de 0 est b=a*k,
mais comme k=a^2 alors b=a*(a^2)= a^3.
On peut aussi avoir d'autres valeurs de k suivant ce type de solution
(en posant mon chapeau qui est un peu encombrant)
en remplaçant a par m*a dans le discriminant ci-dessus, ce qui implique k=(m*a)^2, et donc
b=(m^2)*(a^3) avec m choisi entier (tu peux le vérifier).
Je le redis encore avec toute humilité, ce n'est qu'un type de solution
=======================================================================
et il y en a peut-être d'autres ...
===============================
Effectivement comme a et b ont un rôle symétrique, la solution (b^3,b) existe aussi
comme l'a souligné nogdim.
Enfin j'aimerais bien connaître comment procéder pour avoir d'autres solutions

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Ben314
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Re: (a²+b²)/(ab+1)=n²

par Ben314 » 17 Avr 2018, 12:58

Ah, ça effectivement, je risquais pas de comprendre.
Parce que là, visiblement, partant du fait que, quelque soit a, en prenant b=a^3 on a une solution (avec k=a^2) ton (long) laïus, si je comprend bien, ça consiste juste à dire que ça marche aussi si on met ma à la place de a et b=(ma)^3 (avec k=(ma)^2).
Alors, effectivement, c'est pas faux, mais tu pourrait continuer dans la foulée en expliquant que ça marche encore si on met 17a²-7a+37 à la place de a et b=(17a²-7a+37)^3 (avec k=(17a²-7a+37)^2). Voire même expliquer que ça continue à marcher en mettant Z à la place de a et b=Z^3 (avec k=Z^2).
Voire même, en mettant A à la place de a.....

Enfin, bref, il faudrait peut-être reposer les pieds sur terre et comprendre ce que signifie le "quelque soit a".
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Ben314
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Re: (a²+b²)/(ab+1)=n²

par Ben314 » 17 Avr 2018, 13:12

Bon, sinon, je rappelle le principe de la preuve (on l'a déjà fait 10 fois sur le Forum...):
On part d'une solution de avec .
(1) Si , c'est fini, c'est que .
(2) Si , on considère la solution autre que de.
On montre que est entier et que (le seul truc un peu délicat, c'est ) et on recommence soit l'étape (1) soit la (2) selon que ou pas.
Et vu que , on finira forcément à un moment donné par l'étape (1).

Ensuite, si on veut trouver toutes les solutions, ben il suffit de faire le parcours à l'envers et en fait, ça consiste à construire la suite définie par ; (quelconque) puis pour tout : les solutions de sont alors très exactement l'ensemble des couples ,
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vieuxpepe
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Re: (a²+b²)/(ab+1)=n²

par vieuxpepe » 17 Avr 2018, 18:01

Ben314 , encore un grand merci de toutes ces explications.
Je me prosterne encore en toute humilité devant tant de science.
Il n'y a que les simples d'esprit comme moi qui ont tant de mal.

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