Tirages de boules arc-en-ciel

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Vassillia
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Tirages de boules arc-en-ciel

par Vassillia » 15 Avr 2021, 20:33

Bonjour à tous,

Un petit exercice de probabilités pas si facile (pour moi du moins) et dont la seule méthode de résolution que je connais est assez lourde, j’espère que vous aurez mieux.

Dans une urne, il y a 2 boules de chacune des n couleurs distinctes (soit en tout 2n boules)
On choisit successivement sans remise toutes les boules au hasard, quelle est la probabilité de ne jamais tirer 2 boules avec la même couleur l'une juste à la suite de l'autre ?
Question bonus : Que se passe-t'il lorsque n tend vers ? Convergence ? Vers quelle limite ?

Bon courage, bon amusement, et comme d'habitude, n’hésitez pas à proposer vos variantes plus faciles :ange: ou plus difficiles :diable:



Yecho
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Enregistré le: 07 Juil 2021, 13:41

Re: Tirages de boules arc-en-ciel

par Yecho » 08 Juil 2021, 15:52

Bonjour,

N'ayant que des connaissances partielles de mathématiques s'arrêtant au lycée, je me suis intéressé à ta question. J'ai essayé de faire 2 arbres pour n=2 et p=4 et n=3 p= 6 avec n le nombre de boules tirés et p le nombre de tirages réalisés d'ailleurs p=2n mais je préfère l'appeler comme ça par souci de compréhension pour moi surtout :D.
Après avoir fait mes 2 arbres, j'ai trouvé que j'avais :
Pour l'arbre avec 2 boules, P=2/6
Pour l'arbre avec 3 boules, P=36/90
J'ai essayé de trouver un schéma mathématique pour essayer de poser ce calcul. Et après moult effort et visionnage de cours de factoriel et de tirage avec ordre sans remise, j'ai essayé de conclure que :
P(n)=(n^2(n-1)^2)/((2n)!/2^n )
Je ne sais pas si c'est la bonne réponse, mais en tout cas je suis intéressé de savoir si mon raisonnement est correct ou non. En tout cas j'ai beaucoup aimé d'essayer d'y réfléchir.

Edit : Mon numérateur est faux (et peut-être même le dénominateur) :'(

Bonne journée à toi et aux lecteurs.

Vassillia
Membre Rationnel
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Enregistré le: 12 Jan 2021, 21:38

Re: Tirages de boules arc-en-ciel

par Vassillia » 08 Juil 2021, 22:35

Bonjour et merci pour ton attention à ce problème, tes recherches me font plaisir :D

Notation
le nombre de distributions correctes de boules sans tenir compte de l'ordre des couleurs
le nombre de distributions correctes de boules en tenant compte de l'ordre des couleurs
le nombre total de distributions
la probabilité recherchée

Exemple le cas et
car on ne peut avoir que ABAB
car on peut mettre à la première place A ou B ce qui donne ABAB ou BABA
car on ordonne les 4 boules mais pour chaque paire, il faut diviser par 2 car peu importe qui est la première boule ou la dernière boule ce qui donne AABB, ABAB, ABBA, BABA, BAAB, BBAA
bravo tu as raison :super:

Exemple le cas et sans tout détailler cette fois
car on ne peut avoir que ABACBC, ABCABC, ABCACB, ABCBAC, ABCBCA
car on peut mettre à la première place A ou B ou C et ensuite (B ou C) ou (A ou C) ou (A ou B)

tu n'étais pas très loin, tu as surement compté un cas en trop dans

De manière plus générale on va trouver
car correspond au nombre de façon d'ordonner les couleurs
donc ton dénominateur est correct :super:


Bon mais maintenant que vaut ? C'est un problème difficile, on va essayer de le faire par récurrence
Une configuration comptabilisée dans est de la forme A.....A...., une boule A est à la première place et on se demande où mettre la seconde boule A connaissant tous les précédents
- A partir d'une configuration comptabilisée dans on peut rajouter A entre n'importe quelles boules ou après (pas avant car il y a déjà A), ce qui donne places.
Attention ce n'est pas suffisant car en faisant cela notre seconde boule A ne sera jamais entourée par 2 boules de la même couleur puisque cette configuration n'existe pas dans
- A partir d'une configuration comptabilisée dans on peut rajouter BAB entre n'importe quelles boules ou après ou avant, ce qui donne places
Attention ce n'est pas suffisant car en faisant cela notre BAB ne sera jamais entouré par 2 boules de la même couleur puisqu cette configuration n'existe pas dans
- A partir d'une configuration comptabilisée dans on peut rajouter CBABC entre n'importe quelles boules ou après ou avant, ce qui donne places
...
Au final
avec et

Je te passe le détail des calculs, c'est difficilement accessible au niveau lycée et je comptais un peu sur les lecteurs pour trouver mieux mais on trouve
Cette suite est croissante, c'est logique, plus on a de couleurs, plus on a de chances de ne pas tomber sur la même couleur à la suite. Par contre ce qui est amusant c'est qu'elle converge vers autrement dit elle n'augmente pas beaucoup puisqu'elle part de pour

 

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