Ln(z) = sqrt(z) ?

[Plimpton]

Bonjour à tous ! Je suis un élève de terminale passionné de mathématiques, et je m'adresse à vous pour résoudre une question que je me suis posée.

Les courbes des fonctions ln(x) et sqrt(x) (j'utilise "sqrt" pour les racines carrées) n'ont pas de point d'intersection sur x appartient à R. Ce qui veut dire qu'il n'existe pas de nombres x appartenants à R tels que ln(x) = sqrt(x).
Mais la question que je me pose est la suivante : y a-t-il un (ou plusieurs) nombres complexes qui vérifient cette équation ?

Voila ce que j'ai trouvé pour l'instant : e^(ln(z)) = e(sqrt(z)) = z
Il s'agirait donc de résoudre e^(sqrt(z)) = z

Je n'ai pas réussi, avec mes connaissances de lycéen, à résoudre ce problème. Bravo à celui qui y arrive, car ça fait plusieurs heures que je suis dessus :ptdr:

[capitaine nuggets]

Salut !

Si j'ai bien compris, l'équation n'ayant pas de solutions dans , tu veux essayer de savoir si elle en a dans ?
Le problème est que ce n'est pas si simple de considérer les fonctions "logarithme" et "racine carré" dans . Notamment parce que si on garde les même propriétés que le logarithme réel, il peut y avoir plusieurs images pour un même antécédent (cela vient du fait que la fonction est -périodique). Idem pour la racine carrée : ou ?

[Plimpton]

Ce que tu dis est intéressant ! Mais je crois justement que les fonction ln et sqrt ne se comporte pas de la même manière parmis les nombres complexes, enfin je suis pas trop sur

[Doraki]

si z = exp(w), "log"(z) = w et "sqrt"(z) = exp(w/2) donc ta question se résume à savoir s'il y a des complexes w tels que w = exp(w/2) (et là c'est une question bien posée).

Et en fait il y en a une infinité.

[Plimpton]

Merci, mais saurais-tu donner un intervalle à z, ou quelques valeurs qui vérifient l'équation ?

[Robot]

Un intervalle pour isoler un complexe ?

Des solutions aux intersections du rouge et du bleu :

[Plimpton]

Wow merci infiniment ! ça répond à ma question

[chan79]

L'équation (ln(x))²=x admet une unique solution réelle proche de 0,494866

Si on admet que le logarithme complexe coïncide avec le logarithme népérien sur ]0;+[, cette valeur convient.

[Plimpton]

L'équation (ln(x))²=x admet une unique solution réelle proche de 0,494866

Si on admet que le logarithme complexe coïncide avec le logarithme népérien sur ]0;+[, cette valeur convient.

Bonjour,
Bonne remarque, mais je rappelle que x n'a pas de solutions sur R pour l'équation ln(x) = sqrt(x). On ne peut donc pas se permettre de faire cette étape

[chan79]

Bonjour,
Bonne remarque, mais je rappelle que x n'a pas de solutions sur R pour l'équation ln(x) = sqrt(x). On ne peut donc pas se permettre de faire cette étape

Ce n'est pas une solution si on résout dans mais dans ?

[Robot]

Si x=0,49 et des poussières, ln(x) est négatif, et c'est un peu génant pour être égal à racine carrée de x.
Ca fait bien une solution de .

[chan79]

Si x=0,49 et des poussières, ln(x) est négatif, et c'est un peu génant pour être égal à racine carrée de x.

Dans , le nombre 1, par exemple, a deux racines carrées qui sont 1 et -1, il me semble

[Robot]

Dans , le nombre 1, par exemple, a deux racines carrées qui sont 1 et -1, il me semble

1 et -1 ne sont-ils pas tous les deux réels ? :lol3:

Tout dépend de ce qu'on appelle . Si on prend des déterminations de et de qui coïncident avec les fonctions usuelles sur les réels positifs, z=0,49... n'est pas plus solution dans C que dans R.
On a déjà dit que le problème n'est pas bien posé sous cette forme.

[Doraki]

si tu pars du point (x=1, log(x)=0, sqrt(x) = 1) et si tu pars du point (x=1, log(x)=0, sqrt(x)=-1), tu vas avoir deux ensembles de solutions (dans {(x,w,t) / exp(w)=x et t²=x}) différents.

On ne peut pas passer de l'un à l'autre en baladant x dans C*, donc c'est un argument pour dire que même "dans C", ce sont 2 équations différentes (w = exp(w/2) et w = -exp(w/2))
(une reliée au truc dont on est partis sur R, et une autre qui n'y est pas reliée)

[Plimpton]

Comment sqrt(z)=ln(z) pourrait ne pas avoir de solutions sur R alors que z=ln(z)^2 en aurait ? :hum:

[Lostounet]

2;)x = -2 n'a pas de solution dans R mais 4x = 4 en a

[Plimpton]

2;)x = -2 n'a pas de solution dans R mais 4x = 4 en a

voila pourquoi je me suis dit que faire cette étape est impossible

[Lostounet]

C'est pas que c'est impossible, c'est un raisonnement par implication.

C'est pour ça que par exemple pour une équation avec racines carrées, lorsque tu élèves au carré les deux membres, tu rajoutes des solutions parasites. Par exemple:
Si x = 4 alors x^2 = 16... mais tu ne repasses pas dans l'autre sens (sauf avec une condition de signe). Si x^2 = 16 alors x = -4 ou 4

Si x = ln(x) alors x = ln(x)^2 mais x = 0.49 ne vérifie clairement pas x = ln(x) car les membres ne sont alors pas de même signe.