Un Sangaku

par **Zweig** » 27 Mar 2008, 09:36

Soit un polygone convexe à

côtés inscrit dans un cercle. On choisit une triangulation du polygone et on trace les cercles inscrits dans chacun des triangles obtenus. Montrer que la somme des rayons des cercles inscrits est indépendante de la triangulation choisie.

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par **lapras** » 27 Mar 2008, 18:09

Salut
par triangulation qu'entends tu exactement ?
Les sommets du trangle sont quelconques du moment que les triangles pavent le polygone inscriptible ?

par **Imod** » 27 Mar 2008, 18:27

Je pense plutôt que les triangles pavent le polygone et leurs sommets sont des sommets du polygone .

Imod

PS: Il y a sûrement du Carnot là dessous !

par **Zweig** » 27 Mar 2008, 18:33

Par triangulation, j'entends que l'on fait apparaître un nombre arbitraire de triangles dans le n-gone ayant pour sommets les sommets du n-gone comme sur l'image. On doit donc montrer que la somme des rayon des cercles inscrits est indépendante du nombre de triangles choisis.

Imod > Carnot permet effectivement de torcher ça :happy2:

par **lapras** » 27 Mar 2008, 18:43

ES ce que Carnot est facilement démontrable ?
Parce que je ne veux pas utiliser un théoreme énorme comme ca qui permet de tout torcher rapidement et que je ne sais pas démontrer.

par **Zweig** » 27 Mar 2008, 18:48

Bah sans utiliser Carnot, t'as à intêret à t'accrocher pour résoudre ce problème :marteau:

par **Zweig** » 27 Mar 2008, 19:07

En ce qui concerne le démo du théorème de Carnot (le théorème sur les "distances signées" et non le théorème sur la condition nécessaire et suffisante pour que des points appartiennent à une conique, encore moins le théorème Carnot de en mécanique ... :ptdr: ) n'est pas vraiment très difficile.

par **lapras** » 27 Mar 2008, 19:14

Oula il y a l'air d'avoir beaucoup de références a carnot peux tu me donner le bon théoreme ? (va falloir que je me cultive un peu en géométrie moi !)

par **Zweig** » 27 Mar 2008, 19:25

Je vais même être sympa, je vais te donner les deux :

* Soient un triangle ABC et son cercle circonscrit de centre O et de rayon R. La somme des distances "signées" du centre O aux côtés du triangle est donnée par la formule :

[CENTER]

[/CENTER]

avec r le rayon du cercle inscrit au triangle ABC et

,

les projetés orthogonaux de O sur les côtés, respectivement, (BC), (AB) et (AC)

La "distance signée"

est négative si et seulement si le segment

est entièrement inclus (à une extrémité près) dans l'extérieur du triangle.

* Étant donnée une courbe algébrique quelconque de degré

qui coupe un triangle ABC, soit

(resp.

et

) le produit des

distances, réelles ou imaginaires, de A (resp. B et C) aux

points d'intersection de la courbe avec le côté AB (resp. BC et CA), et soient de même

,

et

les produits semblables associés aux côtés AC, BA et CB, alors :

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[/CENTER]

par **nodgim** » 27 Mar 2008, 19:28

Zweig a écrit:Par triangulation, j'entends que l'on fait apparaître un nombre arbitraire de triangles dans le n-gone ayant pour sommets les sommets du n-gone comme sur l'image. On doit donc montrer que la somme des rayon des cercles inscrits est indépendante du nombre de triangles choisis.

Imod > Carnot permet effectivement de torcher ça :happy2:

Zweig,
Pour un n gone, n'es tu pas obligé de tracer n-2 diagonales avec donc n-1 triangles? :cut:

par **Zweig** » 27 Mar 2008, 19:38

On est pas obligé de tracer tous les triangles possibles puisqu'on doit montrer que la somme ne dépend pas du nombre de ces triangles choisi.

par **Zweig** » 27 Mar 2008, 19:48

En faisant des recherches, je viens de trouver une version encore plus générale du deuxième théorème de Carnot : http://mathworld.wolfram.com/CarnotsPolygonTheorem.html

par **nodgim** » 30 Mar 2008, 16:33

Zweig a écrit:En faisant des recherches, je viens de trouver une version encore plus générale du deuxième théorème de Carnot : http://mathworld.wolfram.com/CarnotsPolygonTheorem.html

En fait, j'aurais dû dire n-3 diagonales et donc n-2 triangles.
Zweig, quelque chose m'échappe, si tu ôtes une diagonale, tu vas te retrouver avec un quadrilatère, non? :doh:

par **Zweig** » 30 Mar 2008, 17:45

Je ne comprends pas où tu bloques nodgim ... :marteau:

par **ffpower** » 30 Mar 2008, 19:12

Je suis dac avec nodgim,ya forcement n-2 triangles,sinon c sur que c faux

par **Zweig** » 30 Mar 2008, 20:16

Ah d'accord, tu parlais du nombre minimum de triangles, je n'avais pas compris. Oui bien sûr, il en faut au moins n - 2 sinon ça n'a pas de sens.

par **ffpower** » 30 Mar 2008, 22:22

Je dirai meme plus:exactement n-2^^.Sinon une fois qu on a le thm de machin chose c facile,mais sans le connaitre par contre...(ce qui etait mon cas)

par **Zweig** » 31 Mar 2008, 09:47

Bah, en connaissant le théorème de Carnot ce n'est pas non plus très direct :happy2: Par contre oui, ce qui serait intéressant, c'est de faire le problème sans ce théorème, ce qui rendrait la tâche beaucoup plus ardue ^^

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