Question de cercle tangent à 2 paraboles

[almi17]

Bonjour,
Question envoyé par un collègue de travail. On demande r. J'aimerais qqes piste, svp.
J'ai essayé les équations des tangentes aux courbes ainsi que la propriété des perpendiculaires i.e. le produit des coefficients directeurs = -1.
J'ai essayé l'équation d'un cercle.
J'ai l'impression que le centre du cercle suit la courbe de y = x² - 1/4 mais pas su le démontrer.
Merci.

[almi17]

Bonjour je n'arrive pas à joinde le dessin. Si qqun peut m'expliquer comment faire...

[catamat]

Bonjour
Tu peux utiliser un hebergeur d'image comme par ex ;
https://imgbb.com/upload

Il suffit de choisir l'image, l'envoyer puis recopier ici le lien direct, par ex :
https://ibb.co/Kp2Wd6yj

ou alors recopier le BBCode, on obtient ainsi directement l'image dans le forum comme ceci :

[almi17]

Merci catamat

Voici le dessin https://ibb.co/WpGmWGPN

[almi17]

je ne sais pas comment on récupère le BBCode

[almi17]

J'ai trouvé

[Pisigma]

Bonjour,

le fait que le centre du cercle soit situé sur l'axe des abscisses, est-ce une donnée ou c'est toi qui l'a supposé?

[catamat]

Bonjour

Si le centre C du cercle est sur l'axe, d'abscisse c, et si on note A d'abscisse a le point de tangence à la parabole P d'équation y=x² et B d'abscisse b l'autre point de tangence à l'autre parable P', on a trois inconnues, a, b et c.

On a trois équations issues des hypothèses :
(i) AC=BC
(ii) C est sur la normale à P au point A
(iii) C est sur la normale à P' au point B

En théorie on doit pouvoir trouver a, b, c et donc r. (mais pour le moment je n'y suis pas arrivé...)

En pratique les équations sont loin d'être simples
(i)<=> AC²=AB²<=>(a-c)²+a^4=(b-c)²+(b²-0.5)²

La normale à P au point A a pour équation

et celle à P' au point B:


donc (ii)<=>

et (iii)<=>

On arrive vite à des équations de degré important...

[Pisigma]

Bonjour,

@catmat : es-tu sûr de l'expression de l'équation de la normale ,par exemple, au point A ?

[catamat]

Bonjour Pisigma

Oui ok erreur de frappe merci, je corrige...

[catamat]

Correction de mon message précédent (j'ai fait mes calculs avec les bonnes équations ce n'est pas pour cela que je n'arrive pas à conclure...)

Si le centre C du cercle est sur l'axe, d'abscisse c, et si on note A d'abscisse a le point de tangence à la parabole P d'équation y=x² et B d'abscisse b l'autre point de tangence à l'autre parable P', on a trois inconnues, a, b et c.

On a trois équations issues des hypothèses :
(i) AC=BC
(ii) C est sur la normale à P au point A
(iii) C est sur la normale à P' au point B

En théorie on doit pouvoir trouver a, b, c et donc r. (mais pour le moment je n'y suis pas arrivé...)

En pratique les équations sont loin d'être simples
(i)<=> AC²=AB²<=>(a-c)²+a^4=(b-c)²+(b²-0.5)²

La normale à P au point A a pour équation

et celle à P' au point B:


donc (ii)<=>

et (iii)<=>

On arrive vite à des équations de degré important...

[Pisigma]

OK ; maintenant nous trouvons la même chose; quant à résoudre le système d'équations "à la main" ce n'est pas évident; je crois que c'est impossible sans passer par un logiciel du genre de Wolfram

[GaBuZoMeu]

Facile



soit à peu près 0,1781313487737803. C'est la racine qui va bien du polynôme

[Pisigma]

Bonjour GaBuZoMeu,

j'ai procédé comme catamat; connaissant a,b et c, j'ai calculé r

Pourrais-tu nous dire comment tu as obtenu directement une équation en r?

Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Voici mon code SageMath :

Code: Tout sélectionner

# Cercle tangent à deux paraboles
R.<a,r,x> = PolynomialRing(QQ,"a,r,x", order="lex")
CerPar1 = (x-a)^2+(x^2)^2-r^2
CerPar2 = (x-a)^2+(x^2-1/2)^2-r^2
Tan1= CerPar1.polynomial(x).discriminant()
Tan2= CerPar2.polynomial(x).discriminant()
S=R.remove_var(x)
I=S.ideal([S(Tan1),S(Tan2)])
P=I.elimination_ideal(S(a)).gens()[0]
Q=factor(P)[1][0]
print("Solutions réelles du système :\n",I.variety(AA))
print("Polynôme Q minimal de r :",Q)
rsols=solve(SR(Q),SR(r))
print("Racines de Q :\n",rsols)
rsolsnum=[rs.rhs().n() for rs in rsols]
print("Valeurs numériques approchées des racines :\n",rsolsnum)

et sa sortie :

Code: Tout sélectionner

Solutions réelles du système :
 [{r: -0.1781313487737803?, a: -0.4843785328691515?}, {r: -0.1781313487737803?, a: 0.4843785328691515?}, {r: 0.1781313487737803?, a: -0.4843785328691515?}, {r: 0.1781313487737803?, a: 0.4843785328691515?}]
Polynôme Q minimal de r : 5038848*r^8 - 1306368*r^6 + 204704*r^4 - 6192*r^2 + 27
Racines de Q :
 [
r == -1/54*sqrt(3)*sqrt(26*sqrt(3) + 486*sqrt(-152/6561*sqrt(3) - 776/19683) + 63),
r == 1/54*sqrt(3)*sqrt(26*sqrt(3) + 486*sqrt(-152/6561*sqrt(3) - 776/19683) + 63),
r == -1/54*sqrt(3)*sqrt(26*sqrt(3) - 486*sqrt(-152/6561*sqrt(3) - 776/19683) + 63),
r == 1/54*sqrt(3)*sqrt(26*sqrt(3) - 486*sqrt(-152/6561*sqrt(3) - 776/19683) + 63),
r == -1/54*sqrt(3)*sqrt(12*sqrt(2/3)*sqrt(57*sqrt(3) - 97) - 26*sqrt(3) + 63),
r == 1/54*sqrt(3)*sqrt(12*sqrt(2/3)*sqrt(57*sqrt(3) - 97) - 26*sqrt(3) + 63),
r == -1/162*sqrt(3)*sqrt(-108*sqrt(2/3)*sqrt(57*sqrt(3) - 97) - 234*sqrt(3) + 567),
r == 1/162*sqrt(3)*sqrt(-108*sqrt(2/3)*sqrt(57*sqrt(3) - 97) - 234*sqrt(3) + 567)
]
Valeurs numériques approchées des racines :
 [-0.381250423062243 - 0.184949974623226*I, 0.381250423062243 + 0.184949974623226*I, -0.381250423062242 + 0.184949974623226*I, 0.381250423062242 - 0.184949974623226*I, -0.178131348773780, 0.178131348773780, -0.0723719413811676, 0.0723719413811676]

Ce que j'ai fait : écrire que le cercle de centre (a,0) et de rayon r est tangent aux deux paraboles (a une intersection double avec ces deux paraboles).

[Pisigma]

Merci !

[GaBuZoMeu]

On remarque que la solution r est un empilement de racines carrées. Donc, a priori, constructible à la règle et au compas. ...
On remarque aussi que "l'impression que le centre du cercle suit la courbe de y = x² - 1/4 " est erronée : le centre du cercle sur l'axe des x est d'abscisse 0.48... et pas 1/2.