A poor lonesome enigme

[Imod]

Chers amis bonsoir .

Chacun connait le jeu du solitaire où il faut qu'il n'en reste qu'un comme dirait un certain Lambert . C'est possible sur le jeu classique mais en partant d'un rectangle de pions sur un échiquier infini ? Si ce n'est pas possible combien restera-t-il de pions si on joue au mieux :doh: :doh:

Pour un carré 2X2 c'est possible !!!



Amusez-vous bien !!!

Imod

[ffpower]

Marrant lol,je vais devoir ressortir mon jeu de dames^^.Je me demande si ya une theorie mathematiques du solitaire comme pour le rubik s cube

[Jean_Luc]

Salut,

Petite question: je me rappelle plus si on peut prendre en diagonale ?

[le_fabien]

je m'entraine au mieux.
http://www.linternaute.com/jeu/societe/solitaire-1/

[Imod]

Salut, petite question: je me rappelle plus si on peut prendre en diagonale ?

Non interdit , règles du jeu :triste:

Imod

[Jean_Luc]

Dans ce cas je n'arrive pas à terminer le 3x3, il m'en reste toujours au moins 2. Je continue...

[ffpower]

Je conjecture que c est possible si et seulement si aucun coté du rectangle n est multiple de 3

EDIT:j ai montré que ct possible si aucun des cotés n est multiple de 3.Reste la reciproque.Partant pour une chasse a l invariant?
REEDIT:j ai oublié de préciser bien sur que la longueur des cotés doit etre strictement plus grande que 1(sauf pour le 1x2 et le 1x1 bien sur lol)

[Imod]

En effet le rectangle de côté 1 doit être traité à part . Pour les autres cas c'est un ou deux pions en reste mais il faut le prouver !!!

Imod

[ffpower]

Qu on peut arriver a 1 pion sous les hypotheses que j ai posé,pas de prob,et qu on peut arriver a 2 pions tout le temps,pas de prob aussi.Mais qu on ne puisse pas arriver a 1 pion dans le cas critique,ca ca va me prendre la nuit je crois(mais je suis sur que c est une histoire d invariants^^)
Pour la preuve,connais tu un site ou je peux faire mumuse sur un cadrillage,en mettant genre des O et des X ou n importe quoi d autre?pas envie de faire un dessin,je prefere les captures d ecran^^.

[Imod]

Désolé , je m'amuse avec un vieux damier , un cadeau de ma fille : il a du servir à tout sauf à jouer aux dames ( ton idée est la bonne :zen: ) .

Imod

PS : si tu veux décrire une méthode sans dessin , utilise la notation des échecs ( celle des dames n'étant pas adaptée au problème ) .

[Imod]

Mais qu on ne puisse pas arriver a 1 pion dans le cas critique,ca ca va me prendre la nuit je crois(mais je suis sur que c est une histoire d invariants^^)

Une méthode classique dans ce type de problème : on colorie les cases .
RBVRBV...
BVRBVR...
.............
Et on cherche pourquoi il ne peut pas rester un unique pion si un des côtés est multiple de trois .

Imod

[ffpower]

voui voui j essaie^^(je colorie meme a 4 couleurs car ya 4 orbites.pour l instant bof mais je ne renonce pas si facilement..)

[Imod]

voui voui j essaie^^(je colorie meme a 4 couleurs car ya 4 orbites.pour l instant bof mais je ne renonce pas si facilement..)

L'invariant est bien dans le coloriage indiqué mais il faut bien le chercher !!!

Imod

[ffpower]

Eureka!!! :id: Je l ai enfin trouvé ce fichu invariant(il a fallu que je passe par des raisonnements sur des Z/2Z espaces vectoriels lol :marteau: ).Alors on fixe une origine quelquonque pour avoir des coordonnées,et pour i=0,1,2 je note ni=nb de pierres (x,y) telles que y=x+i modulo 3
A i fixé,a chaque etape,ni monte ou diminue de 1(pas dur a montrer).En particulier ni change de parité.Or si le nb de lignes ou de colonnes est un multiple de 3,on voit que n1=n2=n3(pas dur a montrer non plus).Donc en particulier,n1,n2 et n3 ont meme parité.On en deduit qu a chaque etape,n1,n2 et n3 garde meme parité.mais on ne peut alors pas arriver a 1 pierre car dans ce cas la,ya un des ni qui vaut 1 et les autres 0...

Pour la preuve que l on peut arriver a 1 pierre dans le cas d un rectangle pxq si p et q ne sont pas multiple de 3,je l ecrirai plus tard,mais c est quand meme plus simple(juste de la bidouille^^).L idee c est juste que si p>3,je peux me ramener au rectangle (p-3)xq,et au final on peut ramener le probleme a l etude du 1x2,2x2 et 4x4 qui sont pas bien dur..
Magnifique exercice en tout cas a mon gout :++:

[Imod]

Eureka!!! :id: Je l ai enfin trouvé ce fichu invariant

Bravo !!! Le reste est plus simple mais tout de même intéressant à détailler .

Imod

[Imod]

Uh petit "up" pour rappeler à ffpower et aux autres que le problème n'est toujours pas résolu dans sa généralité .

Imod

[Imod]

Toujours pas de réponse ?

Imod

[ffpower]

Désolé,pas trop le temps en ce moment